Matematické Fórum

kokr · 09. 04. 2010 13:59

Můžete mi prosím někdo poradi jak se řeší tato limita?

$\lim_{x,y\rightarrow1,1}\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2-2}$

Limita neexistuje, ale nevím jak se to řeší.
Díky.

99 · 09. 04. 2010 14:12

pomocí postupných limit, svazkem přímek nebo úpravou

kokr · 09. 04. 2010 14:14

↑ 99:
Mohl bys to prosím rozvést, nejlépe úpravu. Předem děkuji.

lukaszh · 09. 04. 2010 14:47

↑ 99:

Môžeš vysvetliť, čo sú postupné limity?

↑ kokr:

Keď máme dokázať neexistenciu limity, najvýhodnejšie je použiť Heineho definíciu. Vezmeme dve postupnosti
$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\;\;\{y_n\}_{n=1}^{\infty}$
pre ktoré platí
$\lim_{n\to\infty}x_n=1\;\;\lim_{n\to\infty}y_n=1$
Potom ak existuje dvojná limita
$L=\lim_{(x,y)\to(1,1)}f(x,y)$
tak platí
$L=\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)$
pre každú dvojicu postupností x_n, y_n s danou vlastnosťou. Ak existujú dve dvojice, ktoré dávajú rôznu limitu, potom ani dvojná limita neexistuje.
Zvolíme si teda postupnosti
$x_n=1+\frac{1}{n}\nly_n=1-\frac{1}{n}$
a počítame
$\lim_{n\to\infty}\frac{$1-\frac{1}{n}$^2-$1+\frac{1}{n}$^2}{$1+\frac{1}{n}$^2+$1-\frac{1}{n}$^2-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{4}{n}}{\frac{2}{n^2}}=-\infty$
Ak si však vezmeme inú dvojicu postupností, stačí pôvodné obmeniť
$x_n=1+\frac{1}{n}\nly_n=1+\frac{2}{n}$
tak máme
$\lim_{n\to\infty}\frac{$1+\frac{2}{n}$^2-$1+\frac{1}{n}$^2}{$1+\frac{1}{n}$^2+$1+\frac{2}{n}$^2-2}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}{\frac{6}{n}+\frac{5}{n^2}}=\frac{1}{3}$

Marian · 09. 04. 2010 15:13 — Editoval Marian (09. 04. 2010 15:14)

Řešil bych takto ...

Nejprve výraz upravíme (není to ale nutné) na tvar

$\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2-2}=\frac{(y-1)(y+1)-(x-1)(x+1)}{(y-1)(y+1)+(x-1)(x+1)}=1-\frac{2(x-1)(x+1)}{(y-1)(y+1)+(x-1)(x+1)}.$

Nyní pomocí postupných limit je
$\lim_{y\to 1}\left (\lim_{x\to 1}\left (1-\frac{2(x-1)(x+1)}{(y-1)(y+1)+(x-1)(x+1)}\right )\right )=\lim_{y\to 1}(1-0)=1,$

ale

$\lim_{x\to 1}\left (\lim_{y\to 1}\left (1-\frac{2(x-1)(x+1)}{(y-1)(y+1)+(x-1)(x+1)}\right )\right )=1-\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=0.$

Odtud je jasné, že dvojná limita neexistuje.

Stýv · 09. 04. 2010 15:41 — Editoval Stýv (09. 04. 2010 15:42)

nebo bez znepřehledňujících úprav:
$\lim_{y\to 1}\left (\lim_{x\to 1}\left (\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2-2}\right )\right )=\lim_{y\to 1}\frac{y^2-1}{y^2-1}=\lim_{y\to 1}1=1,$
$\lim_{x\to 1}\left (\lim_{y\to 1}\left (\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2-2}\right )\right )=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^2}{x^2-1}=\lim_{x\to 1}-1=-1$

99 · 09. 04. 2010 18:36

↑ lukaszh: postupné limity jsou ty co použil ↑ Stýv:

kokr · 09. 04. 2010 19:33

Díky za rady, pomohlo to. Ještě tu mám jeden typ, s kterým se nevím rady:

$\lim_{x,y\rightarrow0,0}\frac{3xy}{x^2+y^2}$

lukaszh · 09. 04. 2010 19:35

↑ kokr:

Návody sme ti dali.

Stýv · 09. 04. 2010 20:59

↑ kokr: zkus třeba limity po přímkách x=0 a x=y

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2010 13:59

Limita dvou proměnných

#2 09. 04. 2010 14:12

Re: Limita dvou proměnných

#3 09. 04. 2010 14:14

Re: Limita dvou proměnných

#4 09. 04. 2010 14:47

Re: Limita dvou proměnných

#5 09. 04. 2010 15:13 — Editoval Marian (09. 04. 2010 15:14)

Re: Limita dvou proměnných

#6 09. 04. 2010 15:41 — Editoval Stýv (09. 04. 2010 15:42)

Re: Limita dvou proměnných

#7 09. 04. 2010 18:36

Re: Limita dvou proměnných

#8 09. 04. 2010 19:33

Re: Limita dvou proměnných

#9 09. 04. 2010 19:35

Re: Limita dvou proměnných

#10 09. 04. 2010 20:59

Re: Limita dvou proměnných

Zápatí