Matematické Fórum

Billy · 10. 04. 2010 13:01 — Editoval Billy (10. 04. 2010 13:01)

Zdravím,
potreboval by som vypočítať súradnice priesečníku polopriamky(alebo priamky) s nekonečne dlhým valcom (v 3D priestore) a nejak si s tým neviem poradiť a nepodarilo sa mi to ani nikde nájsť.

Tak ak má niekto nejaký tip tak budem vďačný.

Stýv · 10. 04. 2010 14:51

42

Billy · 10. 04. 2010 15:14

To som nejak nepochopil

rughar · 10. 04. 2010 15:22 — Editoval rughar (10. 04. 2010 15:22)

↑ Billy:

To zálěží taky, jak máš ty útvary zadané. Pomocí nějakých parametrických funkcí? A nebo ten problém řešíš v deskriptivní geometrii a jde o to ti to zkonstruovat? Když položíš otázku jak najít průnik válce a přímky. No tak moje odpověď je tam, kde přímka prochází stěnou válce (mohou být dokonce i dva). A osobně mě teda žádná jiná více vypovídající odpověď na takto položenou otázku nenapadá...

Billy · 10. 04. 2010 15:30

↑ rughar:
Valec mam reprezentovany jeho osou, poziciou v priestore a polomerom. A polo priamku vektorovo ako jej zaciatok a vektorom urcujucim smer. Nejde mi o to to skonstruovat ale najst prislusny bod. (je to sucast programu)

rughar · 10. 04. 2010 17:41 — Editoval rughar (10. 04. 2010 17:42)

Takže předpokládám, že máš dán vektor určující směr osy válce. Nějaký bod osy válce. Poloměr válce. Vektor určující směr přímky. A bod na přímce. Pak tedy si označím

v1,v2,v3 - vektor osy válce
V1,V2,V3 - bod na ose válce
p1,p2,p3 - vektor směru přímky
P1,P2,P3 - bod na přímce
r - poloměr válce

Dále bych si nějak osobně vyjádřil plochu toho válce. Nejlépe parametricky. Je pravda, že když jej říznu rovinou která je kolmá k ose válce, dostanu kruh. Obecná rovnice této roviny je

$v_1 x + v_2 y + v_3 z + c = 0$

Kde c je nějaký parametr. Ten mi akorát určuje polohu té roviny na ose. Dále bych si nalezl průnik osy válce s touto rovinou (označím si ho třeba A). To udělám tak, že vyřeším soustavu

$v_1 A_1 + v_2 A_2 + v_3 A_3 + c = 0$
$v_1 p + V_1 = A_1$
$v_2 p + V_2 = A_2$
$v_3 p + V_3 = A_3$

A vyjádřím si z ní A1, A2, A3, p. p můžu zahodit. Důležitý je pro mě bod A. Soustava jde mimochodem jednoduše řešit tak, že doprvní rovnice za A1..A3 postupně dosadím výrazy ostatních rovnic, vyjádřím p a pak z posledních třech rovnic hned dostanu sousřadnice bodu A.

Nyní najdeme v naší rovině průnik z válcem. To je kruh o poloměru r se středem v bodě A. Takže bude pro něj platit následující.

$v_1 x + v_2 y + v_3 z + c = 0$
$(x-A_1)^2+(y-A_2)^2+(z-A_3)^2 = r^2$

Což js soustava dvou rovnic o třech neznámých x,y,z závislá na parametru c. Abych získal výsledný bod na válci, potřebuji tolik rovnic co neznámých. Tedy ještě nějaké rovnice. No pochopitleně, ještě jsme nezahrnuli to, že hledáme průnik s tou přímkou. Takže musí platit

(1) $v_1 B_1 + v_2 B_2 + v_3 B_3 + c = 0$
(2) $(B_1-A_1)^2+(B_2-A_2)^2+(B_3-A_3)^2 = r^2$
(3) $p_1 k + P_1 = B_1$
(4) $p_2 k + P_2 = B_2$
(5) $p_3 k + P_3 = B_3$

Rovnice (1), (2), (3), (4), (5) mi tvoří soustavu 5ti rovnic o 5ti neznámých B1,B2,B3,k,c. k a c jsou parametry a B je hledaný průnik přímky a válce. Je potřeba tedy rozřešit tuto soustavu. Druhá kvadratická rovnice způsobí, že uvedná soustava bude mít buď 0,1 nebo 2 řešení. Neboli že přímka buď válec mine, dotkne se jeho stěny a nebo jej probije ve dvou bodech.