Matematické Fórum

drax · 09. 04. 2010 08:44

Zdarec, můžete mi nastínit,jak vyřešit tyto dva příklady?

1. f(x) =ln(3x^4) ; p: y = 2x -3
Najděte rovnici tečny T ke grafu f-ce, která je rovnoběžná s přímkou p.

2. f(x) = x^2 * e^-1/x
Najděte rovnici normály ke grafu f-ce f v bodě T[1,f(1)]

Dík za jakoukoliv radu.

drax · 09. 04. 2010 09:01

Nebo spíš jinak, potřebuju to vysvětlit teoreticky, postupy umím, ale moc nerozumím proč to tak je:)

Rumburak

Zvolme na frafu funkce $f$ dva různé body $A\, :=\,[a,\, f(a)]$ , $B\, :=\,[b,\, f(b)]$ a hledejme nejprve rovnici přímky $p$ ,
která těmito body prochází. Snadno nahlédneme a ověříme zkouškou, že rovnicí této přímky je

(1) $y \,=\, \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \,+\, f(a)$ ,

v níž číslo

(2) $k(a,b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

je směrnicí oné přímky.

Nechť bod $A$ je zvolen pevně, zatímco bod $B$ se postupně přibližuje k bodu $A$ , tedy číslo $b$ se blíží k číslu $a$ . Co se při tom bude dít
s přímkou $p$ a její rovnicí (1) ?

Přímka $p$ , která je sečnou grafu funkce $f$ , se bude přibližovat k jeho tečně v bodě $A$ , pokud tato tečna existuje,
zároveň výraz (2) se bude blížit k číslu

$\lim_{b \to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(a)$ .

Rovnicí tečny v bodě $A$ tedy bude $y \,=\, f'(a)(x-a) \,+\, f(a)$ , pakliže $f'(a)$ má konečnou hodnotu.
Existence tečny v bodě $A$ s rovnicí ve směrnicovém tvaru je tedy ekvivalentní s existencí vlastní derivace $f'(a)$ .

Tečným vektorem je zde zřejmě $(1, \,f'(a))$ , normálovým vektorem bude libovolný nenulový vektor k němu kolmý, tedy např. $(f'(a),\,-1)$ .

DODATEK. Pokud by $f'(a)$ vyšla nevlastní, přestože fce $f$ by byla v bodě $a$ spojitá, jako např. pro $f(x)\,:=\sqrt[3]{x}$ , $a=0$ ,
pak tečným vektorem bude zřejmě $(0, 1)$ a normálovým $(1, 0)$ .

drax · 10. 04. 2010 10:58 — Editoval drax (10. 04. 2010 10:58)

Takze jen pro kontrolu:

1. vypocitam derivaci: f(x) což je i po úpravěí: 4/x

potom určím směrnici p, což je podle vzorce y= kx + q ,kde K je směrnice ; k=2

potom určím body tečny k= f(x) derivovane , tzn 2 = 4/x tzn x =2 ; T(2;0)

samotná tečna je podle vzorce: y-B = k *(x -A)
y - 0 =4(x - 2)
y = 4x - 8

Je to spravně?

Stýv · 10. 04. 2010 11:19

1) bod dotyku není (2,0), druhá souřadnice je špatně
2) když počítáš tu tečnu, tak za k dosazuješ 4 místo 2

drax · 10. 04. 2010 15:37

a pls jak teda vypocitam tu druhou souradnici?

Stýv · 10. 04. 2010 17:09

bod dotyku musí ležet na grafu f, má tedy souřadnice (x, f(x)), kde x=2

drax · 11. 04. 2010 10:10

a u dvojky vyjde ta rovnice y = 4/e *(x-1) ??

jelena · 11. 04. 2010 14:26

↑ drax:

Zdravím,

rovnice normály, k=-1/f´(x_0) - bylo použito správně? Mám totiž jiný výsledek pro zadání 2). Je to tak?

drax · 11. 04. 2010 15:22

2) takze K potom vyjde (e^1/x) /(x *(x+2)) a cela rovnice pak 1/e + (e^1/x*(x-1))/ (x * (x+2)) ? se v tom nejak ztracim:D

jelena · 11. 04. 2010 15:42

↑ drax:

je třeba najit derivaci f´(x), do které dosadíme za $x_0=1$ , což bude $f^{\prime}(1)=3e^{-1}$ , odsud $k_n=-\frac{e}{3}$

f(1)=e^{-1}. Teď to všechno dosadit do předpisu pro normálu.

Je to tak? Děkuji.

drax · 11. 04. 2010 18:15

Oukej, díky všem za pomoc:)

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2010 08:44

Najděte rovnici tečny a normály...

#2 09. 04. 2010 09:01

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

#3 09. 04. 2010 10:17 — Editoval Rumburak (09. 04. 2010 10:46)

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

#4 10. 04. 2010 10:58 — Editoval drax (10. 04. 2010 10:58)

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

#5 10. 04. 2010 11:19

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

#6 10. 04. 2010 15:37

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

#7 10. 04. 2010 17:09

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

#8 11. 04. 2010 10:10

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

#9 11. 04. 2010 14:26

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

#10 11. 04. 2010 15:22

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

#11 11. 04. 2010 15:42

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

#12 11. 04. 2010 18:15

Re: Najděte rovnici tečny a normály...

Zápatí