Matematické Fórum

Susi · 11. 04. 2010 18:12

Ahoj!
Snažím se zjistit obor hodnot funkce $y=\frac1{x^2+5x+10}$ . Vím, že obor hodnot je definiční obor fce inverzní. Proto prohodím x a y dostanu se k $y(y+5)=\frac1x-10$ a zde si nevím rady jak to celé vyjádřit y = ... . Co s tím?

Díky za rady všem!

teolog

↑ Susi:
Pro osamostatnění y na levé straně je nutné výraz doplnit na čtverec.

To znamená $y^2+5y=\frac1x-10$ upravit tak, abychom měli $(y+...)^2=...$

$y^2+5y=(y+2.5)^2-2.5^2$

Doxxik · 11. 04. 2010 18:21 — Editoval Doxxik (11. 04. 2010 18:22)

prvky, které nenáleží H(f), bychom mohli zjistit i použitím limit (ne?), pokud jste je už brali..

Susi · 11. 04. 2010 18:34

↑ stepan.machacek:
Úpravě rozumím, ale pokud budu mít $(x+2.5)^2=\frac1x+2.5^2$ tak bych stejnak nemohl dělat závěry o Df, ne? Potřebuji to ve tvaru y= .. což asi nelze?!

↑ Doxxik:
Limity jsme brali, na tohle konkrétně ne. Nějak jednodušeji by to nešlo?

teolog · 11. 04. 2010 18:35

↑ aGr:
Ne ne, vy tam budete mít: $(y+2.5)^2=\frac1x-10-2.5^2$

Doxxik · 11. 04. 2010 18:46

↑ Susi:
asi právě zjištění D(f) fce inverzní..

Susi · 11. 04. 2010 19:33

↑ stepan.machacek:
Jo jasně, to byl uťuk, je to takhle. Ale stejnak D(f) této funkce jsou R bez 0 - jen kvůli x ve jmenovateli ne? Což se mi určitě jako Hf té fce předešlé nezdá...

teolog · 11. 04. 2010 19:41

↑ Susi:
Jasně, x určitě nebude nula, ale to nebude jediná podmínka. Ještě se tam po úpravě vyskytne odmocnina, z té plyne další podmínka. Já myslím, že na první pohled to celkem sedí.

zdenek1

↑ Susi:
To se dělá takhle:
Převedeš si to na tvar
$yx^2+5yx+10y-1=0$ a řešíš jako rovnici s parametrem $y$
Aby tato kvadratická rovnice měla řešení, musí platit
a) $y\neq0$
b) $D\geq0$
$D=25y^2-40y^2+4y\geq0$
$-15y^2+4y\geq0$
$y\in\langle0;\frac4{15}\rangle$

a)+b)
$H_f=(0;\frac4{15}\rangle$

halogan · 11. 04. 2010 20:07

Pokud by sis to chtěla ověřit nějakou úvahou, tak si nakresli tu parabolu a uvažuj, co se stane, když budeš dělit jedničku jednotlivými fčními hodnotami (bude tě pak zajímat jen +-oo a vrchol).

Hezký večer přeji.

teolog · 11. 04. 2010 20:12

↑ zdenek1:
To je asi rychlejší a elegantnější postup, ale tak hledáním Df inverzní fce, jak původně chtěl Susi by to šlo také, ne? Po úpravě by došel ke dvoum funkcím (protože ta původní není prostá): $y=\sqrt{\frac1x-\frac{15}{4}}-\frac52$ a $y=-\sqrt{\frac1x-\frac{15}{4}}-\frac52$ . A tady by dostal definiční obor $D_f=(0;\frac4{15}\rangle$ .

Susi · 11. 04. 2010 20:39

↑ stepan.machacek:
Vyjde to, akorát ta úprava po čtverci je trošku jiná:

$y^2+5y=\frac1x-10$
$(y+2,5)^2-2,5^2=\frac1x-10$
$(y+2,5)^2=\frac1x-10+2,5^2$
$y+2,5=\frac1x-10+2,5^2$
...
$\frac1x>=3.75x$

Ve výsledku to vyjde stejně jako zde ↑ zdenek1: .

Susi · 11. 04. 2010 20:44

Dobrý díky všem.

↑ zdenek1:
Tohle vypadá opravdu mnohem rychleji, akorát to se dá použít pouze při kvadratických fcí, že? Např. u $y=|2x+2|-|3x+1|+1$ budu muset prohodit x a y a poté vypočítat pro všechny znaménka, ne? Či jde to rychleji?

zdenek1

↑ stepan.machacek:
Ono jde lecos. Mě se prostě nelíbí myšlenka, že budu hledat definiční obor inverzní funkce, když tato vlastně neexistuje (protože původní funkce není prostá).

↑ Susi:
Ano, jde u takových typů, které skončí kvadratickou rovnicí.

U funkce s abs. hodnotou bych to dělal po intervalech, protože v nich to budou lineární fce, a u těch je obor hodnot snadný.

Susi · 11. 04. 2010 21:24 — Editoval Susi (11. 04. 2010 21:24)

Hm koukám ale teďka na to, že když to tak udělám tak mi všude vyjde Hf od nekonečna do nekonečna, ne? Graf zde tvrdí něco jiného, nebo ne? :-/

Doxxik · 11. 04. 2010 21:45

nevidím sice tvůj postup, ale nezapomněl jsi náhodou na to, že v jednotlivých intervalech jsi omezen rovněž dílčími definičními obory?

Susi · 11. 04. 2010 22:15

Tomu asi nerozumím. Rozdělím to na 4 intervaly, vždycky jiné znaménko dám před závorku. Můžeš mi to nějak objasnit?

Doxxik · 11. 04. 2010 22:58

možná se mílím -> napiš sem nejprve své řešení, ať se přesvědčím (případně o opaku). díky

Susi · 12. 04. 2010 20:30

↑ Doxxik:

Dělal jsem to špatně. Správně to bude takto:

1) rozložit do intervalů podle nulových bodů (zde: -1 a -1/3)
2) udělat dílčí Hf (zde: (-nekonečno;-1),<-1;7/3),(-nekonečno;7/3) )
3) průnik dílčich Hf (zde: (-nekonečno;7/3)

Jasné! :)

Pavel · 13. 04. 2010 10:22

Nechť $f(x)=\frac1{x^2+5x+10}$ . Protože $D(f)=\mathbb R$ , $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ , je funkce $f(x)$ omezená. Stačí najít pomocí derivací globální maximum a minimum, pomocí nichž lze pak jednoduše určit obor hodnot funkce f.

Susi · 14. 04. 2010 13:26

Jasné, přes derivace je to evidentně nejjednodušší. Díky!

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2010 18:12

Zjištění oboru hodnot

#2 11. 04. 2010 18:19 — Editoval stepan.machacek (11. 04. 2010 18:21)

Re: Zjištění oboru hodnot

#3 11. 04. 2010 18:21 — Editoval Doxxik (11. 04. 2010 18:22)

Re: Zjištění oboru hodnot

#4 11. 04. 2010 18:34

Re: Zjištění oboru hodnot

#5 11. 04. 2010 18:35

Re: Zjištění oboru hodnot

#6 11. 04. 2010 18:46

Re: Zjištění oboru hodnot

#7 11. 04. 2010 19:33

Re: Zjištění oboru hodnot

#8 11. 04. 2010 19:41

Re: Zjištění oboru hodnot

#9 11. 04. 2010 19:51 — Editoval zdenek1 (11. 04. 2010 19:53)

Re: Zjištění oboru hodnot

#10 11. 04. 2010 20:07

Re: Zjištění oboru hodnot

#11 11. 04. 2010 20:12

Re: Zjištění oboru hodnot

#12 11. 04. 2010 20:39

Re: Zjištění oboru hodnot

#13 11. 04. 2010 20:44

Re: Zjištění oboru hodnot

#14 11. 04. 2010 21:17 — Editoval zdenek1 (12. 04. 2010 07:39)

Re: Zjištění oboru hodnot

#15 11. 04. 2010 21:24 — Editoval Susi (11. 04. 2010 21:24)

Re: Zjištění oboru hodnot

#16 11. 04. 2010 21:45

Re: Zjištění oboru hodnot

#17 11. 04. 2010 22:15

Re: Zjištění oboru hodnot

#18 11. 04. 2010 22:58

Re: Zjištění oboru hodnot

#19 12. 04. 2010 20:30

Re: Zjištění oboru hodnot

#20 13. 04. 2010 10:22

Re: Zjištění oboru hodnot

#21 14. 04. 2010 13:26

Re: Zjištění oboru hodnot

Zápatí