Matematické Fórum

Nevim, dál · 11. 04. 2010 17:11

Ahoj, mám takový menší problém s jedním příkladem. Zadání zní:

Máme dvě vodivé koule o poloměru A a B, jejichž středy jsou od sebe vzdáleny H. Obě koule se vzhledem k nekonečnu nacházejí na potenciálu U. Zjistěte, na jakém potenciálu budou koule poté, co se dostanou vlivem vzájemného odpuzování do nekonečné vzdálenosti. Řešení hledejte jen v přiblížení, kdy uvažujete, že H>>A.

Nejsem si právě moc jistý, jakým způsobem se tento příklad řeší, díky za pomoc.

rughar · 13. 04. 2010 17:41

↑ Nevim, dál:

Začneme trikem. Uvažujme, že existuje jen koule A. Má-li náboj Q1, pak její potenciál na povrchu bude roven

$U = \frac{Q_1}{4 \pi \epsilon A}$

Náboj je na kouli rozmístěn pouze na povrchu. Bude mít tedy smysl hledat veličinu plošný náboj. Ten získáme podělením celkového náboje povrchem koule.

$\sigma_A = \frac{Q_1}{4 \pi A^2}$

A tedy platí

$U = \frac{\sigma_A A}{ \epsilon}$

Teď už musíme mít na paměti, že existuje i druhá koule. Volně budeme předpokládat, že náboj na druhé kouli můžeme považovat za bodový a řekněme že má hodnotu Q2. Tento předpoklad vychází z toho, že uvažujeme H>>D. Potenciál bodového náboje je známý vztah. Dostáváme tedy

$U = \frac{1}{\epsilon} A \sigma_A + \frac{Q_2}{4 \pi \epsilon r_2}$

Kde r2 je vzdálenost od středu druhé koule. Nyní je potřeba zahrnout trochu geometrie. Označme si osu, která prochází středy obou koulí jako x. Pak bude platit, že bod na povrchu první koule v poloze x bude mít vzdálenost r2 rovnou (používáme jen Pythagorovu větu, doporučuji obrázek)

$r_2 = \sqrt{A^2+H^2 - 2Hx}$

Po dosazení dostáváme rovnici

$U = \frac{1}{\epsilon} A \sigma_A + \frac{Q_2}{4 \pi \epsilon \sqrt{A^2+H^2 - 2Hx}}$ (1)

Nyní si můžeme blíže vysvětlit, co vlastně způsobila druhá koule. Nejdříve jsme uvažovali jen jednu kouli s rovnoměrně rozloženým nábojem a vyjádřili jsme si její potenciál na povrchu. Nyní přiblížením druhé koule nemůže dojít v první kouli k přírůstku ani úbytku náboje (koule jsou izolovány), ale povrchové náboje se na koulích přeskupí. V rovnici (1) tedy bude platit, že je U stále na celém povrchu konstantní, ale povrchový náboj se bude měnit, pokud se bude měnit hodnota x (čili se budeme nacházet jinde na kouli). Vyjádříme si tedy povrchový náboj koule A.

$\sigma_A = \frac{U \epsilon}{A} - \frac{Q}{4 \pi} \frac{1}{A\sqrt{A^2+H^2 - 2Hx}}$

Nyní opět trochu geometrie. Máme povrchovou hustotu náboje jako funkci x a chceme získat celkový náboj na kouli. Bude se nám hodit obsah kulového pásu. http://www.aristoteles.cz/matematika/st … /koule.php . Platí

$dS = 2 \pi R dx$

A tedy

$Q_1 = \int_{koule} \sigma_A dS = \int_{-A}^A 2 \pi A \sigma_A dx$

Povrchový náboj jako funkci od x již známe. Takže po dosazení a zintegrování získáváme

$Q_1 = -Q_2 \frac{A}{H} + 4 \pi A U \epsilon$

Analogicky musí platit též rovnice

$Q_2 = -Q_1 \frac{B}{H} + 4 \pi B U \epsilon$

Vyřešíme-li soustavu těchto dvou rovnic, dostáváme

$Q_1 = \frac{4 \pi HA(H-B)U \epsilon}{H^2-AB}$
$Q_2 = \frac{4 \pi HB(H-A)U \epsilon}{H^2-AB}$

Jakmile nyní koule odtáhneme od sebe, bude jejich potenciál odpovídat takové hodnotě, jakou jim dá výše uvedený náboj rovnoměrně rozložen. Tedy

$U_1 = U \frac{1-B/H}{1-AB/H^2}$
$U_2 = U \frac{1-A/H}{1-AB/H^2}$

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2010 17:11

Příklad z elektrostatiky

#2 13. 04. 2010 17:41

Re: Příklad z elektrostatiky

Zápatí