Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Dubnová limita (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 12. 04. 2010 18:02
Dubnová limita
Předpokládejme, že 
je posloupnost kladných čísel takových, že 
konverguje. Potom pro všechna 
platí
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Marian)
#2 13. 04. 2010 10:46 — Editoval Pavel (13. 04. 2010 11:27)
Re: Dubnová limita
, pak
konverguje, mohu najít pro všechna 
takové 
nezávislé na 
, že 
. Protože 
, pak z nerovnosti mezi mocnninými průměry plyne, že![$\large 0\leq\lim_{n\to\infty}\left[n^{1-1/p}\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{\frac 1p}\right]=\lim_{n\to\infty}\left[n^{1-1/p}\left(\sum_{i=1}^{k-1} a_i^p\right)^{\frac 1p}+n^{1-1/p}\left(\sum_{i=k}^n a_i^p\right)^{\frac 1p}\right]=\lim_{n\to\infty}\left[n^{1-1/p}\left(\sum_{i=k}^n a_i^p\right)^{\frac 1p}\right]=\nl =\lim_{n\to\infty}\left[n\left(\frac 1n\,\sum_{i=k}^n a_i^p\right)^{\frac 1p}\right]\leq \lim_{n\to\infty}\left[n\left(\frac 1n\,\sum_{i=k}^n a_i^1\right)^{\frac 11}\right]=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=k}^n a_i=\sum_{i=k}^{\infty} a_i<\varepsilon$](/mathtex/bf/bfaeaae38e34e08bd20ad5ae3d0ad8ed.gif "kopírovat do textarea")
.Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#3 13. 04. 2010 18:05 — Editoval BrozekP (13. 04. 2010 18:09)
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Dubnová limita
by tam bylo![$\lim_{n\to\infty}\left[n^{-1}\left(\sum_{i=1}^{k-1} a_i^{1/2}\right)^{2}+n^{-1}\left(\sum_{i=k}^n a_i^{1/2}\right)^{2}\right]=\lim_{n\to\infty}\left[n^{-1}\left(\sum_{i=k}^n a_i^{1/2}\right)^{2}\right],$](/mathtex/b5/b57d98a4f0ab01ee2d4d10135a460a06.gif "kopírovat do textarea")
už platí (a pro libovolné p to bude platit, protože 
).![$\lim_{n\to\infty}\left[n^{1-1/p}\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{\frac 1p}\right]=\lim_{n\to\infty}\left[n^{1-1/p}\left(\sum_{i=1}^{k-1} a_i^p\right)^{\frac 1p}+n^{1-1/p}\left(\sum_{i=k}^n a_i^p\right)^{\frac 1p}\right]$](/mathtex/2f/2fb745221824e385a11b8febb2154e6e.gif "kopírovat do textarea")
Offline
#4 14. 04. 2010 08:11 — Editoval Marian (15. 04. 2010 19:07)
Re: Dubnová limita
↑ BrozekP:
Příspěvek už jsem smazal. Příště budu muset být opatrnější a všímat si převrácené hodnoty.
Ukážu nyní své řešení.
Editace. Řešení nebylo dobře. Nechal jsem jen část, která je v pořádku.
pro 
tedy dokazuji ekvivalentní tvrzení, tj.
, tj. po transformaci na kladné exponenty máme opět ekvivalentně
je neomezená)
Offline
#5 14. 04. 2010 11:12 — Editoval Pavel (14. 04. 2010 11:13)
Re: Dubnová limita
![$\large 0\leq\lim_{n\to\infty}\left[n^{1-1/p}\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{\frac 1p}\right]=\lim_{n\to\infty}\left(n^{p-1}\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{\frac 1p}=\left[\lim_{n\to\infty}\left(n^{p-1}\sum_{i=1}^{k-1} a_i^p+n^{p-1}\sum_{i=k}^n a_i^p\right)\right]^{\frac 1p}=\nl =\left[\lim_{n\to\infty}\left(n^{p-1}\sum_{i=k}^n a_i^p\right)\right]^{\frac 1p}=\lim_{n\to\infty}\left[n^{1-1/p}\left(\sum_{i=k}^n a_i^p\right)^{\frac 1p}\right]=\lim_{n\to\infty}\left[n\left(\frac 1n\,\sum_{i=k}^n a_i^p\right)^{\frac 1p}\right]\leq \lim_{n\to\infty}\left[n\left(\frac 1n\,\sum_{i=k}^n a_i^1\right)^{\frac 11}\right]=\nl =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=k}^n a_i=\sum_{i=k}^{\infty} a_i<\varepsilon$](/mathtex/8b/8b831692e413e4cc52f938d4560c8105.gif "kopírovat do textarea")
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Dubnová limita (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)