Matematické Fórum

p.r.i.n.cess · 13. 04. 2010 14:30

Poradil by mi někdo, jak mám dokázat, že se jedná o lineární zobrazení?
f(x,y,z)=(x+y, y+z, x+z)

Rumburak

Připomeň si definici lineárního zobrazení a ukaž, že Tvé zobrazení f této definici vyhovuje.
Je to velmi snadné, jen se toho nebát! :-)

p.r.i.n.cess · 13. 04. 2010 18:34

↑ Rumburak:
Ale mně to právě do té definice nejde dosadit. Nevím si rady s tím, že tam jsou 3 proměnné (x,y,z)

Rumburak

↑ p.r.i.n.cess:
To $f$ je nutno vnímat jako zobrazení, které jakkoliv zvolenému vektoru $\vec {u}= (x,y,z) \in {\mathbb R}^3$ přiřadí vektor

(0) $f(\vec {u})=(x+y, \,y+z, \,x+z) \in {\mathbb R}^3$ .

O zápisu $\vec {u}= (x,y,z)$ budeme říkat, že vektor $\vec {u}$ je rozepsán po souřadnicích.

K důkazu linearity zobrazení (0) je potřeba ukázat (dle definice, která říká, co to znamená, že zobrazení je lineární),
že pro libovolná $\vec {u}, \vec {v} \in {\mathbb R}^3$ , $r \in {\mathbb R}$ jsou splněny identity

(1) $f(\vec {u}+\vec {v}) = f(\vec {u})+f(\vec {v})$ ("+" na obou stranách značí sčítání vektorů v ${\mathbb R}^3$ ),

(2) $f(r\cdot \vec {u}) = r\cdot f(\vec {u})$ ("." na obou stranách značí násobení vektoru reálným číslem).

Jak postupovat při důkazu ? Vysvětlím podrobně princip . Tak třeba u té (1) :
1. Obecně zvolené vektory $\vec {u}, \vec {v} \in {\mathbb R}^3$ rozepíšeme po souřadnicích, např. tedy bude $\vec {u}= (x,y,z)$ , $\vec {v}= (a,b,c)$ .

2. Uvědomíme si, že vektor $\vec {u}+\vec {v}$ je také vektorem v ${\mathbb R}^3$ a rozepíšeme ho po souřadnicích - podle definice součtu dvou vektorů v ${\mathbb R}^3$ .

3. Máme tedy vyjádřeny po souřadnicích vektory $\vec {u}, \,\vec {v} , \,\vec {u}+\vec {v}$ a podle předpisu (0) k nim najdeme
funkční hodnoty $f(\vec {u}), f(\vec {v}) , f(\vec {u}+\vec {v})$ rozepsané po souřadnicích.

4. Na základě výsledku kroku 3 a definice součtu dvou vektorů v ${\mathbb R}^3$ ověříme, že platí (1).

Zcela analgicky se bude postupovat při důkazu (2).