Matematické Fórum

Mates1122 · 14. 04. 2010 19:37

Ahoj,

prosím o pomoc s následujícími příklady:
1. Stanovte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jeden kořen je x1=-1-2i(odmocnina)3.
2. Určete reálné číslo k tak, aby reálná část komplexního čísla z= (k+2i)/(k-i) byla rovna 0,25.
3. z trochu jiného soudku: pomocí binomické věty odvoďte vzorec pro sin3x.
Díky moc,
Mates

Olin · 14. 04. 2010 20:02 — Editoval Olin (14. 04. 2010 20:03)

Nápovědy:
1. Pokud má kvadratické rovnice reálné koeficienty a komplexní kořen, je jejím kořenem i číslo k tomuto kořenu komplexně sdružené.
2. Číslo upravit (aby byl jmenovatel reálný) a vyjádřit reálnou část, tu pak položit rovnu 1/4.
3. To se obvykle uvádí jako použití Moivreovy věty. Podle té platí
$$ \cos x + \mathrm{i}\cdot\sin x $^3 = \cos 3x + \mathrm{i}\cdot\sin 3x$ .
Levou stranu lze rozložit podle binomické věty (nebo prostě vzorce pro $(a+b)^3$ ) a následně se porovnají reálné a imaginární části čísel na každé straně.

Mates1122 · 18. 04. 2010 16:13

díky za pomoc tu 1,3 jsem vyřešil, ale ta dvojka mi pořád nesedí podle výsledků, upravil jsem takto:
(kˆ2 + 3ki - 2)/(k+1) a teď jsem vzdal (kˆ2-2)/(k+1) = 1/4 a pak jsem řešil kvadratickou rovnici, ale k výsledku +- odmocnina ze 3 jsem se nedostal:-(

jelena · 19. 04. 2010 00:21

↑ Mates1122:

2) po úpravě mi vychází reálná část

$\frac{k^2-2}{k^2+1}=\frac14$ , odsud po anulování pravé strany:

$\frac{4k^2-8-k^2-1}{k^2+1}=0$ ,

$3k^2-9=0$ a zároveň $k^2+1\neq 0$ (což platí).

Je to v pořádku a lze považovat za vyřešené? Děkuji.

Mates1122 · 19. 04. 2010 07:05

ano je to v pořádku, moc děkuji

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2010 19:37

Příklady komplexní čísla

#2 14. 04. 2010 20:02 — Editoval Olin (14. 04. 2010 20:03)

Re: Příklady komplexní čísla

#3 18. 04. 2010 16:13

Re: Příklady komplexní čísla

#4 19. 04. 2010 00:21

Re: Příklady komplexní čísla

#5 19. 04. 2010 07:05

Re: Příklady komplexní čísla

Zápatí