Matematické Fórum

Rumburak

↑↑ Jenda358: Opět správně! Vidím, že už Ti to je jasné. :-)

Rumburak

Jenda358 napsal(a):
A v komplexním oboru (samozřejmě znám) by to v tomto případě bylo stejné jako v reálném, protože se nikde nevyskytuje odmocnina ze záporného čísla.

Toto mi nejspíš při předchozím čtení uniklo a teď zjišťuji, že uvedené myšlence nerozumím.

Jen pro zajímavost dodám, že i v komplexním oboru se zavadí funkce "druhá odmocnina z komplexního čísla", která je potažmo definována
i pro čísla reálná záporná, ale to je až záležitostí vysokoškolské matematiky. Ta definice (zejména má-li se pro $z^q$ vybudovat obecně,
nejen pro speciální případ $q={\frac {1}{2}}$ ), totiž není triviální a vyžaduje hlubší znalosti z matematiky, než jaké poskytuje střední škola.

Na střední škole si pamatuj, že

1) Funkce "druhá odmocnina" je definováná (způsobem uvedeným dříve) pouze na množině nezáporných čísel a výsledek je nezáporné číslo.
Analogicky i v ostatních případech, kdy odmocnitel je sudé přirozené číslo.

2) Funkce "třetí odmocnina" je definována na množině VŠECH reálných čísel, přičemž $\sqrt[3]{M}$ je reálným kořenem rovnice $x^3 = M$ .
Zde (narozdíl od případu, kdy odmocnitel je sudý), nemáme problém ani s neexistencí (pro M < 0), ani s nejednoznačností REÁLNÉHO kořene této rovnice.
Výsledek $\sqrt[3]{M}$ má pak stejné znaménko jako M .
Analogicky i v ostatních případech, kdy odmocnitel je liché přirozené číslo.

3) Odmocniny z imaginárních čísel (ať již odmocnitel je sudý či lichý) na SŠ nezavádíme.

Jenda358 · 13. 04. 2010 19:33

No já jsem teď v 1. ročníku gymnázia, ale o matematiku se velmi zajímám. To s tím komplexním oborem jsem měl na mysli tak, že odmocnina ze čtyř je v reálném oboru dva a v komplexním taky dva. Tedy v žádném oboru není druhá odmocnina ze čtyř definována jako 2 a -2, ale jen 2.
Mimochodem párkrát jsem musel počítat i odmocninu z imaginárního čísla (pomocí vzorce), když jsem řešil kubické rovnice Cardanovými vzorci, ale to bylo opravdu dost zdlouhavé. Nechápu jak se to řešilo dřív, když ještě nebyly komplexní čísla zavedeny.

aGr · 14. 04. 2010 15:14

↑↑ Rumburak:
Já bych na to řekl, že z definice odmocniny (... KLADNÉ číslo ...). Ale myslím, že prostě musím přijmout fakt, že je rozdíl mezi tím odmocňovat celou rovnici a mezi operací odmocnění čísla. Je to tak?

Rumburak

↑ aGr:

aGr napsal(a):
↑↑ Rumburak:
Já bych na to řekl, že z definice odmocniny (... KLADNÉ číslo ...).

Bohužel mi zde nezafungoval (ani na více pokusů) skok na odkaz, tak netuším, na co přesně tato věta reaguje.
Jinak hodnotou funkce $\sqrt x$ může být (pro x =0) i 0, která NENÍ kladná ; kladné číslo je takové, které je "ostře" větší než 0.
Proto, chceme-li se vyjářit obecně, musíme říci, že $\sqrt x$ je NEZÁPORNÉ číslo - pokud o tomto snad byla nějaká pochybnost.

aGr napsal(a):
↑↑ Rumburak:
Ale myslím, že prostě musím přijmout fakt, že je rozdíl mezi tím odmocňovat celou rovnici a mezi operací odmocnění čísla. Je to tak?

To samozřejmě . Odmocnina je funkce, která zvolenému číslu z jakési množiny přiřadí na základě jakéhosi předpisu jakési číslo .
"Odmocnit rovnici" je pouze slangový slovní obrat, jak vyjádřit použití implikace $L=P \,\Rightarrow \,\sqrt L =\sqrt P$ , pokud je odmocnění stran
původní rovnice přípustné s hlediska definičního oboru druhé odmocniny jakožto funkce; rovnici jako takovou tedy de facto neodmocňujeme.

Pochopil jsem správně vůj dotaz ?

Rumburak

↑ Jenda358:
V XVI. století, kdy byly Cardanovy vzorce formulovány v Evropě (v jiných kulturách snad i dříve), se matematika brala co do pojmů
mnohem volněji než dnes. I když imaginární čísla tehdy ještě nebyla zavedena, domnívám se, že se s nimi už intuitivně pracovalo
(jako s "odmocninami" ze záporných čísel), i když je nikdo přesně nedefinoval.

Pavel · 15. 04. 2010 15:29 — Editoval Pavel (15. 04. 2010 15:30)

↑ Jenda358:

V komplexním oboru bych byl opatrný. Zde se druhá odmocnina z komplexního čísla z definuje jako řešení rovnice $x^2=z$ . Tzn. odmocnina je v komplexním oboru víceznačná funkce a zde, narozdíl od reálného oboru, platí, že $\sqrt{4}=2$ a $\sqrt{4}=-2$ .

aGr · 15. 04. 2010 15:30

↑ Rumburak:
Reagoval jsem na

A odkud plyne, že z y^2=2x máš udělat y=sqrt(2x) a ne y=-sqrt(2x) ? PŘESNĚ V TOM JE TEN PROBLÉM.

takto:

Já bych na to řekl, že z definice odmocniny (... NEZÁPORNÉ číslo ...).

(upsal jsem se, chtěl jsem říct, nezáporné)

Ale opět se opakuji, že asi musím prostě uznat, že je rozdíl mezi odmocněním a úpravy rovnice.

Rumburak

↑ Pavel:
Zapsat vedle sebe $\sqrt{4}=2$ a $\sqrt{4}=-2$ je ovšem nekorektní, protože z transitivity rovnosti pak dostáváme nepravdivý výrok "2 = -2".
V dobrých publikacích se proto obě tyto "odmocniny" (přesněji: jednotlivé větve odmocniny) graficky odlišují indexem pod odmocnítkem,
symbol pro "k-tou" větev n-té odmocniny pak vypadá takto:

______________
n /
_ /
| /
| /
|/

k

(jak to zapsat v TeXu ovšem netuším).
Tento celočíselný index k při n-té odmocnině probíhá od 0 do n-1 a odpovídá hodnotě celočíselného parametru, který figuruje ve vzorci
pro vyjádření jednotlivých kořenů příslušné binomické rovnice. Pokud se v tomto kontextu používá symbol odmocniny bez dolního indexu,
znamená MNOŽINU kořenů oné binomické rovnice *). Tedy např. $\sqrt {4} = \{2, -2\} = \{ \,{z_0}\,, \,{z_1}\, \}$ .
Jde o souhrn všech kořenů binomické rovnice $z^2 = 4$ , kterou můžeme napsat ve tvaru $z^2 = 2^2\,$\cos \,(0 + 2k\pi) \,+\, i\, \sin\, (0 + 2k\pi)$$ ,
kde k je libovolné celé číslo. Takže z toho celkem máme dva kořeny $z_k = 2\,$\cos \frac {0 + 2k\pi}{2} \,+\, i\,\sin \frac {0 + 2k\pi}{2}$=\pm 2$ , k = 0, 1 .
(Pro další k celá už nedostaneme nic nového. )

*) EDIT. Ale uvědomuji si teď, že ani tato symbolika není zcela závazná. Odmocnina bez uvedeného dolního indexu u některých autorů
znamená "nultou" větev n-té odmocniny (tedy pro k = 0), což je v souladu s klasickou definicí odmocniny v reálném oboru.

Rumburak

↑ aGr:
Už chápu. A ještě bych Tvůj poslední výrok poněkud upřesnil: Je rozdíl mezi odmocněním a ŘEŠENÍM rovnice.
Já aspoň krok od $y^2=2x$ k $y_{1,2}=\pm \sqrt{2x}$ vnímám už jako řešení rovnice (pro neznámou y s parametrem x).
Že na výsledek tohoto kroku mohu následně pohlížet opět jako na pár rovnic o neznámých x, y, to už je jiná věc.

aGr · 15. 04. 2010 16:15

Výborně, chápu. Díky moc, že jste to se mnou přežili :).

Matematické Fórum

#26 13. 04. 2010 15:38 — Editoval Rumburak (13. 04. 2010 15:46)

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

#27 13. 04. 2010 16:55 — Editoval Rumburak (13. 04. 2010 16:57)

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

Jenda358 napsal(a):

#28 13. 04. 2010 19:33

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

#29 14. 04. 2010 15:14

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

#30 15. 04. 2010 14:17 — Editoval Rumburak (15. 04. 2010 15:18)

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

aGr napsal(a):

aGr napsal(a):

#31 15. 04. 2010 14:27 — Editoval Rumburak (16. 04. 2010 09:37)

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

#32 15. 04. 2010 15:29 — Editoval Pavel (15. 04. 2010 15:30)

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

#33 15. 04. 2010 15:30

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

#34 15. 04. 2010 15:46 — Editoval Rumburak (16. 04. 2010 10:11)

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

#35 15. 04. 2010 15:59 — Editoval Rumburak (15. 04. 2010 16:07)

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

#36 15. 04. 2010 16:15

Re: Je tento předpis předpisem funkce?

Zápatí