Matematické Fórum

Ewita · 22. 08. 2007 12:44

Nejsem si jistá, zda mohu spodní mnohočlen rozdělit takto:

Je to možné?
Zbytek je přes parciální zlomky...

jelena · 22. 08. 2007 23:00 — Editoval jelena (23. 08. 2007 08:42)

rozklad spodniho mnohoclenu, bohuzel, neni dobre - staci si pro kontrolu vynasobit zlomky v zavorkach (po 2. =).

Mela by to byt uprava vedouci k integralu typu dx/((x+a)^2 + b^2) a ve vysledku se musi objevit arctg ((x+a)/b).

V krocich: x^2 + 5x + 11 = (x + 2,5)^2 + 4,75

Substutuce x + 2,5 =y a pak jeste jednou substituce: odmocnina (4,75)*t = y.

Hodne zdaru.

Kondr · 22. 08. 2007 23:47

K tvému řešení: To, co jsi zintegrovala, bylo ve skutečnosti
$\frac{1/10}{x+1}-\frac{1/10}{x+4+7}=\frac{1/10}{x+1}-\frac{1/10}{x+11}=\frac{1}{x^2+12x+11}$ .
Toto píšu, abych upozornil na důležitou věc: Aby šlo rozložit zlomek na součet parciálních zlomků, musí jít jmenovatel zlomku rozložit na součin mnohočlenů s reálnými koeficienty.

K možnám metodám řešení:
Postup č. 1 (obecný, vhodný pro domácí cvičení)

Najdeš si podobný příklad v té moc pěkné publikaci, kterou už Jelena odkazovala:

http://euler.fd.cvut.cz/predmety/ml1/files/CV_ML1.pdf

(v tomto případě na straně 82 je to příklad 21)
Stejnou metodou spočítáš a výsledek pro ty trochu jiné koeficienty ověříš zde:

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

Postup č. 2 (pro integrály typu $\frac{dx}{ax^2+bx+c}$ )

Rozlišíme tři případy dle hodnoty diskriminantu b^2-4ac:
1) diskriminant je>0, rozložíme na parciální zlomky, zintegrujeme.
2) diskrimiant je 0, pak integrujeme mocninnou funkci podle známého vzorce
3) diskriminant je<0. Pak se pokusíme zlomek dostat do tvaru $\frac{1}{1+t^2}$ vhodnou substitucí.

V našem případě nastala možnost 3), která je z uvedených nejtěžší.
První substituce, která nás napadne, je r=x+5/2, kterou se zbavíme prostředního člene:
$x^2+5x+11=r^2+19/4$ . Aby byl u kvadratického a absolutního člene stejný koeficient, položíme
$r=\frac{\sqrt{19}}{2}t$ . Pak máme
$x=\frac{\sqrt{19}}{2}t-5/2$ (1)
$dx=\frac{\sqrt{19}}{2}dt$
Počítáme
$\int\frac{\frac{\sqrt{19}}{2}dt}{(19/4)t^2+19/4}=\frac{4\sqrt{19}}{2\cdot19}\int\frac1{1+t^2}= \frac{2\sqrt{19}}{19}{\textrm{arctg}t}=\frac{2\sqrt{19}}{19}{\textrm{arctg}\left(\frac{(2x+5)\sqrt{19}}{19}\right)$ .
K tomu poslednímu dosazení bylo potřeba vyjádřit x z rovnice (1), což už jsem byl líný rozepisovat.

Matematické Fórum

#1 22. 08. 2007 12:44

Integrál- rozklad

#2 22. 08. 2007 23:00 — Editoval jelena (23. 08. 2007 08:42)

Re: Integrál- rozklad

#3 22. 08. 2007 23:47

Re: Integrál- rozklad

Zápatí