Matematické Fórum

Tomas.P

Zdravím

Potřeboval bych prosím poradit, jak se řeší limity typu:

$\lim(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\)$

a

$\lim_{x\rightarrow1}(\frac{(x^m)-1}{(x^n)-1}\)$ , kde m a n jsou přirozená čísla

jarrro · 16. 04. 2010 13:01 — Editoval jarrro (16. 04. 2010 13:02)

$\lim_{n\to \infty}{\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{n-1}{2n}}=\frac{1}{2}$
$\lim_{x\to 1}{\frac{x^m-1}{x^n-1}}=\lim_{x\to 1}\frac{x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots +1}{x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots + 1}=\frac{m}{n}$

Tomas.P

↑ jarrro:

Musím mít podruhé větší nadhled. Už vím:

$\lim(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\)=\lim(\frac{1+2+...+n-1}{n^2}\)=\lim(\frac{n(n-1)}{2n^2}\)= \lim(\frac{(n-1)}{2n}\)=\frac{1}{2}$

Pavel · 16. 04. 2010 13:27

↑ Tomas.P:

První limita: Převedeš na jeden zlomek. V čitateli máš součet prvních n-1 členů aritmetické posloupnosti, ten dokážeš určitě najít. ve jmenovateli n^2.

Druhá limita: rozložíš $x^m-1=(x-1)(x^{m-1}+x^{m-2}+\dots+1)$ . Podobně rozložíš jmenovatel. V obou případech bude výraz v první závorce stejný. Proto je pokrátíš. Do zbytku dosadíš x=1.

Tomas.P

↑ Pavel:

$\lim_{x\rightarrow1}(\frac{(x^m)-1}{(x^n)-1}\)=\lim_{x\rightarrow1}(\frac{(x-1)(x^{m-1}+x^{m-2}+...+1)}{(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)}\)=\lim_{x\rightarrow1}(\frac{(x^{m-1}+x^{m-2}+...+1)}{(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)}\)=\frac{m}{n}$

Bohužel mi pořád není jasné, proč se to po dosazení za x=1 rovná : $\frac{m}{n}$

Marian · 16. 04. 2010 14:47 — Editoval Marian (16. 04. 2010 14:50)

↑ Tomas.P:

Připomněl bych alternativní metodu výpočtu první limity, která se dá taktéž vnímat jako "neúplná" Riemannova suma příslušna funkci f(x)=x při ekvidistantním dělení intervalu [0,1] pomocí n dělicích bodů. Máme totiž

$\lim_{n\to\infty}\quad\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\quad\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}.$

Odtud výsledek plyne snadno tak, že platí rovnost

$\lim_{n\to\infty}\quad\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\quad\frac{1+2+\cdots +n-1}{n^2},$

neboť $1/n\to 0$ pro $n\to\infty$ .

Tomas.P · 16. 04. 2010 23:30

Díky všem za rady

Marian · 17. 04. 2010 14:14

↑ Tomas.P:

V čitateli je celkem m sčítanců (po dosazení x=1 je každý z nich roven "1", tj. jejich sečtením dostáváme m). Podobně ve jmenovateli je n sčítanců (po dosazení x=1 je každý z nich opět roven "1", tj. jejich sečtením dostáváme n).

Tomas.P · 17. 04. 2010 23:11

↑ Marian:

Teď už mi to je jasné. Díky

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2010 12:38 — Editoval Tomas.P (16. 04. 2010 12:40)

Limita

#2 16. 04. 2010 13:01 — Editoval jarrro (16. 04. 2010 13:02)

Re: Limita

#3 16. 04. 2010 13:17 — Editoval Tomas.P (16. 04. 2010 22:07)

Re: Limita

#4 16. 04. 2010 13:27

Re: Limita

#5 16. 04. 2010 13:32 — Editoval Tomas.P (16. 04. 2010 21:08)

Re: Limita

#6 16. 04. 2010 14:47 — Editoval Marian (16. 04. 2010 14:50)

Re: Limita

#7 16. 04. 2010 23:30

Re: Limita

#8 17. 04. 2010 14:14

Re: Limita

#9 17. 04. 2010 23:11

Re: Limita

Zápatí