Matematické Fórum

FliegenderZirkus

Ahoj, povedlo se nám v matematice předběhnout fyziku (většinou to myslím bývá opačně) a počítáme křivkové integrály druhého druhu, tj. vektorových funkcí. Většina zadání je typu „určete práci vykonanou silou F(x,y,z)...” a tahle formulace mi není moc jasná, zkusím uvést konkrétní příklad. Vypočítejte práci vykonanou vektorovým polem $\mathbf{F}=(2y-6xy^3,2x-9x^2y^2)$ po části paraboly $y=x^2$ orientované od bodu $[0;0]$ do $[1;1]$ .
Parametrizace křivky bude $P(t)=(t,t^2),t \in \langle 0,1 \rangle$ , $\dot{P}(t)=(1,2t)$
$\int_{C}(2y-6xy^3)dx+(2x-9x^2y^2)dy=\int\limits_{0}^{1}(2t^2-6t^7,2t-9t^6)\cdot (1,2t)dt=\int\limits_{0}^{1}(2t^2-6t^7+4t^2-18t^7)dt=\nl=\int\limits_{0}^{1}(-24t^7+6t^2)dt=[-24 \cdot \frac{t^8}{8}+6\cdot \frac{t^3}{3}]_{0}^{1}=-1$ .

Můj dotaz zní: V bodě [0;0] žádná síla nepůsobí, takže proč se vůbec ten můj bod začne pohybovat? Má nějaký vlastní „pohon”? Pak si to předtavuju tak, že jsem v bodě [0;0] a namířím přímo po úsečce k bodu [1;1], jenže vektorové pole mě bude pořád někam unášet, já budu pořád kormidlovat tak, abych směřoval k bodu [1;1] a výsledná trajektorie bude pravděpodobně velmi složitá, ne parabolická. Nebo je to ještě jinak a jsem na nějaké parabolické kolejnici, která mi pohyb do stran prostě neumožňuje a já počítám, jestli třeba foukáním větru o dané síle ušetřím palivo, nebo ne? Pokud je to takhle, tak bych v tomhle případě spotřeboval paliva víc než za bězvětří, je to tak? Jestli je teda ten výpočet správně. Děkuju!

rughar · 17. 04. 2010 00:01

Podle mě by mělo být zadání pochopeno tak, že bod se pohybuje v každém případě po zadané křivce (jak si psal, je v pevných kolejích). A copak je na bodu [0,0] tak divné? Pořádně se zamysli nad tím co píšeš:

"V bodě [0;0] žádná síla nepůsobí, takže proč se vůbec ten můj bod začne pohybovat?"

Já osobně jsem si nikde nevšiml, že by v tomto bodě měl mít nulovou rychlost. To každopádně výpočet nijak neovlivní. Ať už se pohyboval jakkoli rychle, rychlost k výpočtu není třeba (síla je v tomto případě pouze funkcí polohy, nikoli rychlosti) a zadání nám jen přikazuje, že bod má opsat zadanou trajektorii. Takže je to tak, jak nakonec sám počítáš.

FliegenderZirkus · 19. 04. 2010 00:39

Jasně...to vektorové pole není původcem pohybu, jen zkoumáme jeho vliv na něj. Kdybych někam do toho pole upustil hmotný bod a zajímala mě jeho trajektorie, tak to je úplně jiná úloha (mimochodem-to se počítá jak?). Taky bych se chtěl zeptat na tu interpretaci jako spotřebu paliva, jde to takhle zjednodušit?

Rumburak

↑ FliegenderZirkus:

1. V praxi se těleso či bod mohou začít pohybovat i z takové výchozí polohy, v níž teoreticky nepůsobí síla, která by mohla pohyb vyvolat.
Příkladem může být rovnovážná poloha vratká. Mimo to, jak správně píše ↑ rughar:, může mít těleso v takovém bodě nenulovou
počáteční rychlost.

2. Je-li dáno silové pole $\vec{F}(\vec{r})=(u(\vec{r}), \,v(\vec{r}),\,w(\vec{r}))$ , kde $\vec{r} = (x,\,y,\,z)$ je průvodič bodu, pak trajektorie pohybujícího se hmotného bodu
o hmotnosti m splňuje dle Newtonova zákona síly pohybovou rovnici $m \frac {\text{d}^2 \vec{r}}{\text{d}t^2} = \vec{F}(\vec{r})$ (ve vektorovém tvaru), což rozepsáno po složkách dává
soustavu diferenciálních rovnic

$m \frac {\text{d}^2 x}{\text{d}t^2} = u(x,\,y,\,z)$ ,
$m \frac {\text{d}^2 y}{\text{d}t^2} = v(x,\,y,\,z)$ ,
$m \frac {\text{d}^2 z}{\text{d}t^2} = w(x,\,y,\,z)$ ,

jejíchž řešením obdržíme hledanou trajektorii. Obdobně v rovinné úloze.
Takto je tedy popsán pohyb, při němž se kromě silového pole $\vec{F}$ , počáteční polohy a počáteční rychlosti bodu žádné další vlivy neuplatňují.

3. Pro výpočet práce vykonané polem je důležitá vlastní dráha tělesa (resp. pouze její počáteční a koncový bod, pokud jde o pole koservativní)
a nezáleží na tom, zda je dráha (vymykající se rovnici z bodu 2) podpořena nějakou vazbou (například kolejnicí) nebo silou vyvinutou motorem
tělesa (v těchto úvahách ovšem ignorujeme tření - ve skutečnosti je rozdíl, jsou-li saně taženy po ledě nebo "vedle" po betonu).

4. Má-li těleso vlastní pohon, může si vynutit vlastní cestu (letadlo, které navzdory gravitačnímu poli nabírá výšku) a vždy to bude nějaká
křivka, zda zrovna konkretní parabola, to už závisí na možnostech stroje a šikovnosti pilota - nakonec i na náhodě.
Jestliže těleso vyvíjí sílu za účelem vnutit pohybu určitou dráhu jinou než podle rovnice z bodu 2 , pak ta složka síly, která je kolmá na trajektorii,
práci nekoná. Z praktického hlediska je to sice paradoxní (nadřu se, resp. spotřebuji palivo, ale nevykonám práci - leda snad, že zahřeji motor),
avšak je to v souladu s fyzikální definicí.