Matematické Fórum

Avery · 21. 08. 2007 19:09

Prosím mohl by mi někdo vysvětlit jak spočítat tenhle příklad
Je dána diferenciální rovnice: y’ – xy = 3x, jejíž počáteční podmínka je y0(0) = 3, vypočítejte y0(4).
a) 3e^4
b) 6e^4 – 3
c) 3e^8
d) 6e^8 – 3
e) 3e^2
f) 6e^2 – 3

Kondr · 21. 08. 2007 19:23 — Editoval Kondr (22. 08. 2007 09:25)

tak to máme y'=x(y+3), pkud položíme z=y+3, řešíme
z'=xz,
z'/z=x,
za z' dosadíme dz/dx, dostaneme
(dz/dx)/z=x, po vynásobení dx
dz/z=xdx, obě strany neurčitě zintegrujeme
ln(z)+C1=(x^2)/2+C2,
ln(z)=(x^2)/2+C3
$z=C.e^{\frac{x^2}2}$
$y=C.e^{\frac{x^2}2}-3$
y(0)=C-3, takže C=6, proto
y(4)=6e^8 – 3 (EDITACE: původní výsledek y(4)=6e^4 – 3 je špatně, viz můj příspěvek níže).

Avery · 21. 08. 2007 20:32

Díky za odpověď není mě ještě jasné jak ses zbavil logaritmu jak si přišel na to že x je odmocnina z 8 a vlastně celý tohle y(0)=C-3, takže C=6, proto y(4)=6e^4 – 3 můžeš mi to prosím vysvětlit

Kondr · 22. 08. 2007 09:21

Z tvé odpovědi soudím, že až po
ln(z)=(x^2)/2+C3
je to jasné.
No a pak platí, že a=b právě když e^a=e^b, takže
$e^{\ln(z)}=e^{\frac{x^2}{2}+C_3}$ .
Protože je funkce e^x inverzní k ln(x), jejich složení je identita, na levé straně máme z, pravou přepíšeme jako
$e^{\frac{x^2}{2}}\cdot e^{C_3}=C\cdot e^{\frac{x^2}{2}}$ .
Tím jseme dosatli vztah
$z=C\cdot e^{\frac{x^2}2}$ , ze vztahu z=y+3
$y=C\cdot e^{\frac{x^2}2}-3$ . Tím jsme dostali třídu funkcí y, které řeší diferenciální rovnici. Jen jedna z nich ale vyhoví podmínce y(0)=3. Za x dosadíme nulu a chceme, aby nám y vyšlo 3:
$3=C\cdot e^{\frac{0^2}2}-3=C\cdot e^0-3$ .
Protože cokoliv na nultou je 1, máme 3=C-3, C=6.
$y=6\cdot e^{\frac{x^2}2}-3$ .
To, co se po nás chce, je hodnota y pro x=4. Ta je samozřejmě 6e^8–3 a ne 6e^4–3, omlouvám se.

Avery · 22. 08. 2007 12:13

Díky za objasnění :-) bude se to hodit zítra jdu na zkoušku a podobnej příklad tam určitě bude tak ho snad zvládnu :-)
Btw. není za co se omlouvat :-)

Kondr · 22. 08. 2007 12:45

Rádo se stalo a pak napiš, jak jsi dopadl :)

Avery · 23. 08. 2007 19:46

no bylo to docela záludný zadaní sem jeden z mála š?astnejch "za tři" líp to nikdo nezvlád . Mně psychicky ničil 3,5 hodiny (2 hodiny test pak sem ukecaval svoje postupy) :-) ale naštěstí nakonec prones "tak mi ten index dejte at vás mam z krku"
btw. Díky za vaše rady hodili se :-)

jelena · 23. 08. 2007 23:17

Tak to je dobre, moc dobre, uplne skvele :-) Blahopreji

Avery · 26. 08. 2007 13:24

Díky ;-)

Matematické Fórum

#1 21. 08. 2007 19:09

Diferenciální rovnice

#2 21. 08. 2007 19:23 — Editoval Kondr (22. 08. 2007 09:25)

Re: Diferenciální rovnice

#3 21. 08. 2007 20:32

Re: Diferenciální rovnice

#4 22. 08. 2007 09:21

Re: Diferenciální rovnice

#5 22. 08. 2007 12:13

Re: Diferenciální rovnice

#6 22. 08. 2007 12:45

Re: Diferenciální rovnice

#7 23. 08. 2007 19:46

Re: Diferenciální rovnice

#8 23. 08. 2007 23:17

Re: Diferenciální rovnice

#9 26. 08. 2007 13:24

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí