Matematické Fórum

lukas188 · 14. 04. 2010 20:17

Ahojte.
Nevedel by mi niekto nahodou pomoct ako sa rataju taketo limity z funkcii o dvoch premennych, plss??
Dakujem za kazdy help....

lukas188 · 17. 04. 2010 15:12

Ahojte.. tak uz som nejak tie limity poriesil, ale s tymito dvoma si nejak neviem dat rady.. Neviete niekto ako by sa dali riesit tieto limity???
Dik moc za pomoc....

Pavel · 17. 04. 2010 15:50 — Editoval Pavel (24. 04. 2010 23:32)

↑ lukas188:

1. Omezme se na body z "blízkého" okolí 0, tj. $0<x<1$ a $0<y<1$ takové, že $0<x^{17}+y^{17}<1$ . Pak

$\frac{x^{13}y^{13}}{x^{17}+y^{17}}\geq x^{13}y^{13}$

Na druhou stranu použijme nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem.

$\frac{x^{13}y^{13}}{x^{17}+y^{17}}\leq \frac{x^{13}y^{13}}{2\sqrt{x^{17}y^{17}}}=\frac{x^{9/2}y^{9/2}}{2}$

Tzn. pro výše uvedená čísla x,y platí

$x^{13}y^{13}\leq\frac{x^{13}y^{13}}{x^{17}+y^{17}}\leq \frac{x^{9/2}y^{9/2}}{2}\nl \lim_{x\to 0\nly\to 0}x^{13}y^{13}\leq\lim_{x\to 0\nly\to 0}\frac{x^{13}y^{13}}{x^{17}+y^{17}}\leq \lim_{x\to 0\nly\to 0}\frac{x^{9/2}y^{9/2}}{2}\nl 0\leq\lim_{x\to 0\nly\to 0}\frac{x^{13}y^{13}}{x^{17}+y^{17}}\leq 0\qquad\Rightarrow\qquad \lim_{x\to 0\nly\to 0}\frac{x^{13}y^{13}}{x^{17}+y^{17}}= 0$

2. Přibližujme se k nevlastnímu bodu po přímce $y=x$ . Pak

$\lim_{x\to \infty\nly\to \infty}\frac{x^{13}y^{13}}{x^{17}+y^{17}}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^{26}}{2x^{17}}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^{9}}{2}=\infty$ .

Nyní se přibližujme k nevlastnímu bodu po křivce $y=\log\, x$ . Pak

$\lim_{x\to \infty\nly\to \infty}\frac{x^{13}y^{13}}{x^{17}+y^{17}}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^{13}\log^{13}x}{x^{17}+\log^{17}x}=\lim_{x\to \infty}\ \frac{1}{\large \frac{x^4}{\log^{13}x}+\frac{\log^{4}x}{x^{13}}}=\frac 1{\infty +0}=0$ .

Limita proto neexistuje.

lukas188

Dik moc za tie limity.. :)
Chcel by som sa este opytat na tuto limitu, ci by mohlo byt taketo riesenie??

${\lim }\limits_{x,y,z \to (0,0,0)} \frac{{2{x^2} - 2{y^4} + {z^3}}}{{\cot g(2{x^2} - 2{y^4} + {z^3})}} = [t = 2{x^2} - 2{y^4} + {z^3},t \to 0] = {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin (t)*t}}{{\cos (t)}} = \frac{{0*0}}{1} = 0$

Pavel · 17. 04. 2010 21:34

↑ lukas188:

Je to ok. Limitu lze počítat i jednodušeji, stačí využit identity $\frac 1{\cot\,x}=\tan\, x$ . Pak

$\lim_{x,y,z \to (0,0,0)} \frac{{2{x^2} - 2{y^4} + {z^3}}}{{\cot(2{x^2} - 2{y^4} + {z^3})}} = \lim_{x,y,z \to (0,0,0)} (2x^2 - 2y^4 + z^3)\cdot \tan(2x^2 - 2y^4 + z^3) = 0\cdot 0=0$ .

lukas188 · 23. 04. 2010 17:01

Ahojte,
tak trapenie s limitami pokracuje :( Vsetky co som mal su uz OK okrem tychto troch, ktore mi vratili ako zle vyriesene. :( ...

Ak by sa nahodou niekto nasiel kto by vedel s nimi pohnut tak ma u mna jedno velke dakujem ...
Dik za kazdy helpp....

Marian · 23. 04. 2010 18:19 — Editoval Marian (23. 04. 2010 18:28)

↑ lukas188:

Problémem může být definice limity ve vlastním bodě X*=(x*,y*) funkce f(X) dvou proměnných. Tato definice se uvádí buď bez dalších podmínek nebo s dalšími podmínkami na okolí bodu X* (tzv. limita funkce v bodě X* vzhledem k množině M). Pokud budu ignorovat tyto doplňující podmínky, nemohu vyhovět definici limity funkce f(X), neboť vezmu-li libovolné delta-okolí bodu X*=(0,0) v metrice eukleidovské (čili okolím bude otevřený delta-kruh), najdu k tomuto okolí vždy takovou dvojici X'=(x',y'), kde funkce není definována v bodě X', tj. nelze vyhovět podmínce o vlastní limitě L funkce dvou proměnných ve vlastním bodě X*, která říká, že pro každé epsilon >0 existuje číslo delta >0 s vlastností, že pro všechny body X' (kromě bodu X*) takové, že d(X',X*)<delta (kde "d" značí eukleidovskou vzdálenost) platí d(f(X'),L)<epsilon. Ovšem, pokud f(X') neexistuje - to je náš případ - potom není co měřit a ověřovat v definici.

Tedy limita v obecném smyslu neexistuje.

Tento problém se dá vnímat také u úlohy typu

$\lim_{(x,y)\to (2,2)}\quad\frac{x^3-y^3}{x^4-y^4}.$

Rozkladem čitatele a jmenovatele a dosazením x=2, resp. y=2 dostaneme hodnotu 3/8, ale pozoruji zde stejný problém, že pro libovolné delta-okolí bodu (2,2) není funkce za znakem limity definována. Tedy neměla by existovat.

Pavel · 24. 04. 2010 22:23 — Editoval Pavel (24. 04. 2010 23:33)

↑ Marian:

Jak tak o tom přemýšlím, není v definici limity funkce více proměnných uvedeno, že ty prvky z delta kruhu musí být zároveň z definičního oboru této funkce?

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2010 20:17

Limity

#2 17. 04. 2010 15:12

Re: Limity

#3 17. 04. 2010 15:50 — Editoval Pavel (24. 04. 2010 23:32)

Re: Limity

#4 17. 04. 2010 18:19 — Editoval lukas188 (17. 04. 2010 20:20)

Re: Limity

#5 17. 04. 2010 21:34

Re: Limity

#6 23. 04. 2010 17:01

Re: Limity

#7 23. 04. 2010 18:19 — Editoval Marian (23. 04. 2010 18:28)

Re: Limity

#8 24. 04. 2010 22:23 — Editoval Pavel (24. 04. 2010 23:33)

Re: Limity

Zápatí