Matematické Fórum

Wolfi · 16. 04. 2010 20:28

Zdravim, potřeboval bych zase jednou poradit, tentokráte s limitou :

lim ((xy-y+2x-2)/((x-1)^2 + (y+2)^2)) as x->1, y->(-2)

Neexistuje, ale já vubec nevím jak se k tomu dostat = nemám postup že neexistuje. Z toho horního řádku je nějaký vzorec, ale vubec nechápu, jak mě má zrovna napadnout? Zkoušim nějak vytýkat atp, ale nevím prostě.
Díky

lukaszh · 16. 04. 2010 21:05

↑ Wolfi:

Jednoduchá substitúcia

nám dá limitu, ktorú môžeš skúsiť spočítať, prípadne dokázať neexistenciu:
$\lim_{(x,y)\to(1,-2)}\frac{xy-y+2x-2}{(x-1)^2+(y+2)^2}=\lim_{(u,v)\to(0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$

Marian · 17. 04. 2010 14:42 — Editoval Marian (17. 04. 2010 14:48)

↑ lukaszh:↑ Wolfi:

Proberu to celkem obšírně.

Neexistenci limity původní (označme ji třeba symbolem $L$ ) snadno nahlédneme tak, že budeme uvažovat pouze speciální body z nějakého $\varepsilon$ -okolí bodu (0,0). Jistě lze z tohoto $\varepsilon$ -okolí zvolit bod (u,v) takový, že jeho "souřadnice" (nebo lépe složky uspořádané dvojice) budou ležet na kružnici o poloměru $0<r<\varepsilon$ a středu v bodě (0,0). Tedy,

Dobře si promysli, že pro libovolný bod (u,v) z uvažovaného $\varepsilon$ -okolí bodu (0,0) lze vždy najít takovou dvojici $(r,\varphi)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$ čísel takovou, že rovnice výše platí.

Připomínám, že není nutné brát v úvahu tak velký rozsah pro hodnotu $\varphi$ . Vystačíme jistě s intervalem $[0,2\pi )$ . Ovšem jsou to pouze technické drobnosti, na kterých v tomto případě nesejde.

Bude-li $(u,v)\to (0,0)$ , potom nezávisle na volbě čísla $\varphi\in\mathbb{R}$ musíme požadovat $r\to 0^+$ . Navíc platí zřejmě

Nyní se podíváme na to, jak situace vypadá pro $r\to 0^+$ , přičemž $\varphi\in\mathbb{R}$ bude libovolné. Je zřejmé, že se bude jednat o speciální případ obecnějšího, jež se vyskytuje v zadání, tj. $(u,v)\to (0,0)$ . Nebude-li limita existovat pro tento speciální případ, nemůže ani existovat v obecném případě, o kterém hovoří definice limity funkce dvou proměnných ve vlastním bodě.

Tedy bude specielně

Odtud jasně plyne, že hodnota $L^*$ je závsilá na hodnotě $\varphi$ a tudíž limita původní neexistuje (neboť záleží na tom, "odkud se blížíme k bodu (0,0)").

Pavel · 17. 04. 2010 15:27

Stačí také svázat obě proměnné u,v tak, že položíme $u=kv$ , $k\in\mathbb R$ . Tzn. k bodu $(0,0)$ se budeme blížit po přímkách $u=kv$ . Pokud limita existuje, nemůže být závislá na směrnici k.

$\lim_{(u,v)\to(0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}=\lim_{(kv,v)\to(0,0)}\frac{kv^2}{(kv)^2+v^2}=\lim_{v\to 0}\frac{kv^2}{v^2(k^2+1)}=\frac{k}{k^2+1}$ .

Limita tedy závisí na směrnici, pro každou přímku $u=kv$ vychází jiná hodnota, proto původní limita neexistuje.

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2010 20:28

Neexistující limita

#2 16. 04. 2010 21:05

Re: Neexistující limita

#3 17. 04. 2010 14:42 — Editoval Marian (17. 04. 2010 14:48)

Re: Neexistující limita

#4 17. 04. 2010 15:27

Re: Neexistující limita

Zápatí