Matematické Fórum

zervemenicka · 18. 04. 2010 16:25

Ahoj, potřebuji pomoct s následujícím příkladem. Vím, že to tady je, přesto tomu nerozumím, čili kdyby mi to někdo nějak lidsky vysvětlil, byl bych vděčný :-)

Zobrazeni f R^3->R^2 je dano predpisem (x,y,z)->[-4*x-7*y-6*z, -7*y-6*z]
Najdete matici takovou, ze pro kazdy vektor v lezici v R^3 plati: f(v)=A*v^t, kde v^T je matice 3x1 ktera vznikne z vektoru v, takze ho napisete jako sloupecek
(x)
f([x,z,y])=A*(y)
(z)

Oxyd · 18. 04. 2010 16:48

Prvně se zamyslíme nad rozměry matice A. Chceme k ní zprava přinásobit matici o rozměrech 3x1, takže A musí mít rozměry n x 3. Jaké bude n? Když přenásobíme matici n x 3 maticí 3 x 1 dostaneme matici n x 1 -- tedy řádkový vektor s n složkami. Výsledkem má být vektor o dvou složkách (je to zobrazení do R^2), tedy n = 2.

Tak si tu matici napíšeme a rovnou ji zprava přenásobíme vektorem v = (x, y, z)^T:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \nl a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \nl y \nl z \end{pmatrix} = \left(a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot y + a_{13} \cdot z, \, a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y + a_{23} \cdot z \right)$
Tohle je to, co dostaneme z výrazu Av^T. Ze zadání víme, čemu se to má rovnat:

$\left(a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot y + a_{13} \cdot z, \, a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y + a_{23} \cdot z \right) = \left( -4x -7y - 6z,\, 0x - 7y - 6z \right)$

Tahle rovnost se dá snadno splnit tak, že zvolíme $a_{11} := -4$ , $a_{12} := -7$ , $a_{13} := -6$ , $a_{21} := 0$ , $a_{22} := -7$ , $a_{23} := -6$ .

Matice pak bude vypadat

$A = \begin{pmatrix} -4 & -7 & -6 \nl 0 & -7 & -6 \end{pmatrix}$

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2010 16:25

Matice lineárního zobrazení

#2 18. 04. 2010 16:48

Re: Matice lineárního zobrazení

Zápatí