Matematické Fórum

tob · 18. 04. 2010 20:52

Potřeboval bych poradit s příkladem:

Určete hodnotu parametru r v rovnici přímky p 4x-2y-r=0 tak, aby přímka p byla tečnou ke kružnici k x^2 + y^2 -20=0.

Vůbec nevim co s tim, nějaké základy o této látce vim, ale s timhle si neumim poradit.

N3st4 · 18. 04. 2010 21:09

Zdravim ta. Ak vies celkom slusne pocitat rovnice potom by si nemal mat problem. Tento priklad sa riesi nasledovne:
Budes ratat sustavu tych dvoch rovnic (p & k) ... Vyjadris si nejake "x" alebo "y" z "p" a dosadis do "k". Malo by ti to vycapit nejaku kvadraticku rovnicu kde budes mat jednu premennu (x alebo y) a este tam bude navyse aj "r".
Diskriminant tej kvadratickej rovnice polozis rovny nule a da ti to dve riesenia pre "r". Tym padom mas vypocitane "r" a zistis ze dotycnice ku kruznici rovnobezne s danou priamkou su vzdy dve. ;)
Uz len musis vediet ako vyratat kvadraticku rovnicu s tym "r". A takych tem tu uz bolo viac. No ak by si si neporadil, napis, vyriesime. ;)°

tob · 18. 04. 2010 21:24 — Editoval tob (18. 04. 2010 21:51)

↑ N3st4: Udělal jsem to jak jsi mi napsal a došel jsem ke kroku, kdy mam tu kvadratickou rovnici o znění 4y^2+2y+r-80=0
Ted jsem nějak nepochopil co dělat, normálka mam vyjádřit diskriminant? ehm co je c?? je to -1, nebo ten poslední člen -80 . Jsem nějak mimo, tak sry. A co dál, jesli by jsi mohl ještě jednou, pro mě trocha srozumitelněji. Díky :-)

Chrpa · 18. 04. 2010 21:55

↑ tob:
$x^2+y^2-20=0$
$4x-2y-r=0\nly=\frac{4x-r}{2}$ dosadíme do rovnice kružnice
$x^2+\frac{16x^2-8xr+r^2}{4}-20=0\nl20x^2-8xr+r^2-80=0$ aby to byla tečna pak diskriminant této kvadratické rovnice musí být nula tedy:
$64r^2-80(r^2-80)=0\nl16r^2=6400\nlr^2=400\nlr=\pm20$
Rovnice přímek (budou 2)
$4x-2y+20=0\nl4x-2y-20=0$

tob · 18. 04. 2010 22:07

↑ Chrpa: Děkuji, už vim, kde jsem udělal chybu (kvadratická rovnice) Ale vůbec nerozumim, jak jste udělala z tý rovnice 20x^2-8xr+r^2-80=0 na 64 r^2-80(r^2-80)=0 . Prosím o vysvětlění nějak to v tom nevidim. Díky

Chrpa · 18. 04. 2010 22:21 — Editoval Chrpa (18. 04. 2010 22:21)

↑ tob:
1) Jsem muž.
2) K dotazu:
Diskrininant této kvadratické rovnice $20x^2-8xr+r^2-80=0$ musí být $D=0$ a to proto, že pak bude mít přímka a kružnice jeden společný bod.
$D=b^2-4ac$
v našem případě:
$b=-8r\nla=20\nlc=r^2-80\nlb^2=64r^2\nl-4ac=-4\cdot 20(r^2-80)\nlD=64r^2-80r^2+80^2$ toto položíme rovno nule
$64r^2-80r^2+6400=0\nl16r^2=6400\nlr\pm 20$

tob · 18. 04. 2010 22:23 — Editoval tob (18. 04. 2010 22:25)

↑ Chrpa: Pardon :D . Děkuji za vysvětlení už tomu rozumim. :-)

Chrpa · 18. 04. 2010 22:25

↑ tob:
Nemusíš se omlouvat,
ale radši napiš zda je to už jasné (myslím to řešení)

tob · 18. 04. 2010 22:26

jj vše je jasné, mohl bych ještě jeden příklad?

Chrpa · 18. 04. 2010 22:28

↑ tob:
No než půjdu spát tak třeba jeden zvládneme.

tob · 18. 04. 2010 22:31

No dám to sem, kdyžtak mi pls někdo odpovězte...

Určete vzájemnou polohu kružnice, dané rovnicí k:x^2 + y^2 - 4x + 10y + 24,5 = 0 a přímky p:x-y+c=0 v závislosti na hodnotě parametru c.

Chrpa · 18. 04. 2010 23:04 — Editoval Chrpa (19. 04. 2010 20:55)

↑ tob:
Mohou nastat 3 případy:
1) c je takové, že přímka je sečnou kružnice - mají 2 společné body
2) c je takové, že přímka je tečnou kružnice - mají 1 společný bod
3) c je takové, že přímka je nesečnou kružnice - nemají žadný společný bod.
ad 1)
Budeš to řešit jako předcházející úlohu, ale D > 0
2) D = 0
3) D < 0
Vyšlo mi toto:
$c\in(-10;\quad-4)$ - sečna

$c=-10\quad\cup\quad c=-4$ - tečna

$c\in(-\infty;\quad -10)\quad\cup\quad c\in(-4;\quad\infty)$ - nesečna.

Postup se mi sem psát nechce.
Musím ráno brzo do práce a jdu hajat.
Obrázek:

PS: nesečna = vnější přímka ( prý se to tak pojmenovává)

tob · 18. 04. 2010 23:06

↑ Chrpa: jj nějak to zkusim. Děkuji :-)

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2010 20:52

Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#2 18. 04. 2010 21:09

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#3 18. 04. 2010 21:24 — Editoval tob (18. 04. 2010 21:51)

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#4 18. 04. 2010 21:55

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#5 18. 04. 2010 22:07

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#6 18. 04. 2010 22:21 — Editoval Chrpa (18. 04. 2010 22:21)

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#7 18. 04. 2010 22:23 — Editoval tob (18. 04. 2010 22:25)

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#8 18. 04. 2010 22:25

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#9 18. 04. 2010 22:26

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#10 18. 04. 2010 22:28

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#11 18. 04. 2010 22:31

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#12 18. 04. 2010 23:04 — Editoval Chrpa (19. 04. 2010 20:55)

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

#13 18. 04. 2010 23:06

Re: Analitická geometrie v rovině, vzájemná poloha přímky a kružnice.

Zápatí