Matematické Fórum

Ryusei · 19. 04. 2010 09:20

Zdravím, narazil jsem dnes v písemce na tento příklad a celkem sem pohořel:
Máme kuličku (m=500g, r=2,5cm) která má translační rychlost v0=3ms-1 a valí se po nakloněné rovině (do kopce) (l = 1,5m, úhel alfa=15° vůči zemi), na konci této roviny padá dolu rychlostí v1. Jak daleko doletí a jak vysoko poletí kulička. Při letu berme kuličku jako hmotný bod a při počítání zanedbejme veškeré tření).

Celkem bych rád věděl jak na to zkoušim to od rána ale už plácám nesmyslný výrazy.

zdenek1 · 19. 04. 2010 10:17

↑ Ryusei:

Když se kulička valí, má kinetickou energii $E_k=\frac12mv^2+\frac12 J\omega^2$
Pro kouli je $J=\frac25mr^2$ , což dává
$E_k=\frac12mv^2+\frac12 \frac25mr^2\omega^2$ a protože je $r\omega=v$
$E_k=\frac7{10}mv^2$
Nyní ZZE
$E_{k1}=E_{k2}+E_{p2}$
$\frac7{10}mv^2=\frac7{10}mv_1^2+mgl\sin\alpha$
$v_1=\sqrt{v^2-\frac{10}7gl\sin\alpha}$
Poté, co opustí nakloněnou rovinu, koná kulička šikmý vrh z výšky $h_0=l\sin\alpha$ a s elevačním úhlem $\alpha$ . V soustavě na obrázku je
$x=v_1t\cos\alpha$ (1)
$y=h_0+v_1t\sin\alpha-\frac12gt^2$ (2)
v okamžiku, kdy dosáhne max. výšky, je $v_y=0$ , tj. $v_1\sin\alpha-gt=0\ \Rightarrow\ t=\frac{v_1\sin\alpha}g$ dosazením do (2) dostaneš max. výšku.

Při dopadu je $y=0$ , takže z (2) vypočítáš $t$ (kv. rce) a dosadíš do (1) a dostaneš jak daleko doletí.