Matematické Fórum

aGr · 16. 04. 2010 17:38

Zdravím, nevím si rady s příkladem:

Nechť je dána rovnice $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$ s celými koeficienty. Nechť raionální číslo vyjádřené zlomkem v základním tvaru $\frac{p}{q}$ je kořenem této rovnice. Potom $p/a_0 \wedge q/a_n$ . Dokaž.

Je mi jasné, že za x dosadím $\frac{p}{q}$ , co ale pak? Přemýšlel jsem, jestli tam nekouká binomická věta, ale nezdá se mi. Žádný jiný nápad bohužel nemám, poradí někdo?

Děkuju

FailED · 16. 04. 2010 18:00 — Editoval FailED (16. 04. 2010 18:03)

↑ aGr:

Kořeny mnohočlenu se po jeho vynásobení konstantou nezmění.
Mnohočlen můžeme rozložit na součin kořenových činitelů. $(x-x_1)\cdot(x-x_2)\cdots (x-x_n)$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

aGr · 16. 04. 2010 18:56 — Editoval aGr (16. 04. 2010 18:57)

↑ FailED:
Promiň, ale vůbec tomu nerozumím. Platí snad že $\frac{a_{n-1}}{a_n}=a_1$ ? A i pokud ano tak kde se tam pak objeví onen absolutní člen?

lukaszh · 16. 04. 2010 21:13

↑ aGr:

Čísla p a q sú nesúdeliteľné. Každý sčítanec na ľavej strane je deliteľný q, okrem prvého. Z pravej strany vyplýva, že tento musí byť deliteľný q. Z nesúdeliteľnosti p,q vyplýva, že q delí a_n. Podobne si môžeme rovnosť upraviť

$p\cdot$a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+...+a_1q^{n-1}$=-a_0q^n$

Opäť p musí deliť a_0, pretože p,q sú nesúdeliteľné.

aGr · 17. 04. 2010 10:26 — Editoval aGr (17. 04. 2010 10:26)

lukaszh napsal(a):

Této úpravě nerozumím, co se stalo?

lukaszh napsal(a):
Z nesúdeliteľnosti p,q vyplýva, že q delí a_n.

lukaszh napsal(a):
Opäť p musí deliť a_0, pretože p,q sú nesúdeliteľné.

Jakou roli hraje jejich nesoudělitelnost ve vztahu k a_n? Pokud by byli, co by to změnilo?

Díky za trpělivost :)

Kondr · 19. 04. 2010 12:52

1) úprava = vynásobení $q^n$
2) nesoudělnost je nutná k tomu aby z $p|a_0q^n$ plynulo $p|a_0$ . Pro soudělná p,q (třeba p=8,q=4,n=2) by mohlo být $a_0=1$ , což není dělitelné p. Analogicky je to potřeba k tomu, aby $q|a_np^n$ plynulo $q|a_n$ .

aGr · 20. 04. 2010 21:34

1) Chápu, tudíž bych to napsal takto:

Ano?
2) To si právě nejsem jist, že chápu. Mám-li $a=bc$ tak a musí dělit jak b tak i c, ne? Jako např. 6;3;2.

aGr · 25. 04. 2010 13:35

Koukal jsem na to znovu, ale opravdu tomu nerozumím. Vždyť přeci to co jsem dokázal je, že $a_o/p$ nikoliv $p/a_o$ !

Kondr · 25. 04. 2010 14:32

↑ aGr: Jen pro jistotu: říkáme, že a dělí b, pokud existuje k takové, že b=ak. Tedy například je pravda, že 2 dělí 6 a neplatí, že 6 dělí 2.
Z rovnosti $a=bc$ proto plyne, ale že $c$ dělí $a$ a $b$ dělí $a$ .
Pokud víme, že $4|a*b$ , neznamená to, že $4|a$ nebo že $4|b$ (za $a,b$ stačí vzít dvojky, aby to bylo vidět). To samé když $p$ dělí $a_nq^n$ -- pro $p=4$ , $q=a_n=2$ to taky bude platit. Proto je důležitá ta nesoudělnost.

aGr · 25. 04. 2010 23:39

Kondr napsal(a):
↑ aGr: Jen pro jistotu: říkáme, že a dělí b, pokud existuje k takové, že b=ak. Tedy například je pravda, že 2 dělí 6 a neplatí, že 6 dělí 2.
Z rovnosti $a=bc$ proto plyne, ale že $c$ dělí $a$ a $b$ dělí $a$ .

Ale z té rovnice vyplývá, že $a_nq^n$ dělí p, ne? Jak sám jsi řekl: $a=p,b=a_o,c=q^n$ -> $a_o/p$ ale já to chi přesně naopak!

Kondr napsal(a):
Pokud víme, že $4|a*b$ , neznamená to, že $4|a$ nebo že $4|b$ (za $a,b$ stačí vzít dvojky, aby to bylo vidět). To samé když $p$ dělí $a_nq^n$ -- pro $p=4$ , $q=a_n=2$ to taky bude platit. Proto je důležitá ta nesoudělnost.

Aha, čili chápu to to dobře, že pokud $a_oq^n/p$ tak pouze tehdy když p a q jsou nesoudělná můžu usoudit, že $a_o/p$ ?

Kondr · 01. 05. 2010 01:40

Tak možná je ještě zmatek v notaci: $x|y$ znamená "x dělí y".

Máme tuto rovnici:

$p\cdot$a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+...+a_1q^{n-1}$=-a_0q^n$

1) p dělí levou stranu
2) p dělí pravou stranu
3) p dělí součin $a_0$ a $q^n$
4) p je nesoudělné s $q^n$ , musí proto dělit druhého z činitelů, tedy $a_0$

Pokud je to ještě aktuální, tak napiš, kde jsi se ztratil.

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2010 17:38

Důkaz dělitelnosti

#2 16. 04. 2010 18:00 — Editoval FailED (16. 04. 2010 18:03)

Re: Důkaz dělitelnosti

#3 16. 04. 2010 18:56 — Editoval aGr (16. 04. 2010 18:57)

Re: Důkaz dělitelnosti

#4 16. 04. 2010 21:13

Re: Důkaz dělitelnosti

#5 17. 04. 2010 10:26 — Editoval aGr (17. 04. 2010 10:26)

Re: Důkaz dělitelnosti

lukaszh napsal(a):

lukaszh napsal(a):

lukaszh napsal(a):

#6 19. 04. 2010 12:52

Re: Důkaz dělitelnosti

#7 20. 04. 2010 21:34

Re: Důkaz dělitelnosti

#8 25. 04. 2010 13:35

Re: Důkaz dělitelnosti

#9 25. 04. 2010 14:32

Re: Důkaz dělitelnosti

#10 25. 04. 2010 23:39

Re: Důkaz dělitelnosti

Kondr napsal(a):

Kondr napsal(a):

#11 01. 05. 2010 01:40

Re: Důkaz dělitelnosti

Zápatí