Matematické Fórum

Hanča123 · 18. 04. 2010 19:30

Dnes prosím ještě jednou o pomoc, zkusila jsem to spočítat, ale nejsem si jistá výsledkem, mám správný postup?

Př. určete zda vektory (1,1) a (3,0) generují^2 a napište různé 2 ortonomální báze.
1) 1 1
3 0 jsou lineárně nezávislé a generují R^2

2) spočítat normu vektoru:
(nevím jak to napsat) "vektor x v absolutní hodnotě - v rovných závorkách" = druhá odmocnina z 2
"vektor x v absolutní hodnotě" = druhá odmocnina z 9 = 3

3) provést normování?

Hanča123 · 18. 04. 2010 19:35

3) normování:
1 / druhá odmocnina ze dvou * (1,1) = (1/druhá odmocnina ze dvou, 1/druhá odmocnina ze dvou)

1 / 3 * (3,0) = (1,0)

Mám to dobře nebo naprosto blbě?

LukasM · 19. 04. 2010 10:52

↑ Hanča123:
Ahoj. Vektory máš znormované dobře (pokud tedy mlčky předpokládáme standardní skalární součin).
Ale jako odpověď to správně není. Jaká je definice ortonormální báze?

Hanča123 · 19. 04. 2010 18:43

Ortogonální báze - taková báze jejíž vektory tvoříortogonální skupinu LN vektorů,navíc její vektory jsou jednotkové...
ale víc nenajdu, vektory jsou snad to nejhorší co jsem se zatím učila :o(

RePRO · 19. 04. 2010 18:51

Nás taky učili, že velikost vektoru v té bázi musí být roven 1.

LukasM · 19. 04. 2010 18:55

↑ Hanča123:
No, ta definice cos napsala je definice ortoNORMÁLNÍ báze, asi ses na začátku jen přepsala. Ale to je fuk. Potřebujeme tedy, aby ty vektory byly jednotkové (na to je vždy stačí vydělit normou, tak jak jsi to udělala), LN (to jsou), musí jich být stejně jako je dimenze prostoru, aby ho generovaly (to generují), a navíc na sebe musejí být kolmé, tedy skalární součin každého s každým musí být roven nule. Vektory (1,1) a (3,0) na sebe kolmé nejsou. Musíš jeden, druhý, nebo klidně oba nějak změnit.

Hanča123 · 19. 04. 2010 19:24

Máš pravdu, upsala jsem se:o)

nějak změnit? tzn, že je můžu např. vynásobit nebo prostě změnit jejich hodnotu?

př.0(1,1)a (3,0)
nebo
(1,1) a (3,-1)..?

a pak ty změněné mám normovat nebo stačí je pozměnit takhle nakonec?

LukasM · 19. 04. 2010 19:33

↑ Hanča123:
Co musí ten výsledný soubor vektorů splňovat jsem vypsal v předchozím příspěvku, a mělo by to stačit. Násobení vektorů číslem nám kolmost nezmění, takže to nebude ta správná cesta (tys je teda zkolmila tak, žes jeden vynásobila nulou, což sice funguje, ale zas to nabourá LN, a nulový vektor taky asi těžko znormuješ).

Je potřeba změnit složky. (1,1) a (3,-1) ovšem zase nejsou kolmé, jejich skalární součin (std) je 2, my chceme aby byl 0.

Hanča123 · 19. 04. 2010 19:56

Koukám, že jsem dnes ještě chytřejší než jindy.. takže ještě jeden pokus:
původně bylo (1,1) a(3,0)
můžu je tedy změnit na (1,1)a (3,-3)?..ta jsem to chtěla napsat už před tím :(

a pak je mám použít na to normování nebo už mám výsledek.. fakt to ze skript nějak nechápu (což je asi vidět) :)

LukasM · 19. 04. 2010 20:06

↑ Hanča123:
Tyhle dva vektory už tvoří bázi a je to dokonce báze ortogonální. Pokud má být ortonormální, je potřeba je ještě znormovat, což už umíš.

Ono stačí znát tu definici - chtějí ON bázi, takže musí:
- to být báze (LN soubor vektorů který generuje)
- všechny vektory na sebe musí být kolmé
- všechny vektory musí mít jednotkovou normu

Takže v zásadě tady nejde nic nechápat, jen si uvědomit co se vlastně skrývá pod tím termínem "ON báze" :-)

Hanča123 · 19. 04. 2010 20:24

Hurá,
takže stačí začít tím, k čemu jsi mě dokopal na konci a pak pokračovat :o)
díky moc, máš u mě čokoládu :)

Hanča123 · 19. 04. 2010 20:37

takže jsem to zkusila ještě jednou:

pův. (1,1) a (3,0) - LN a generují R^2

nejsou ortogonální a tak je pozměním na (1,1) a (3,-3)

jejich norma je: odmocnina z 2 a odmocnina z 18

a po "znormování" dostanu:
(1/odmocnina z 2, 1/odmocnina z 2)
(3/odmocnina z 18, -3/odmocnina z 18)

:)

LukasM · 19. 04. 2010 20:47

Výtečně, to je správně. S tím, že $sqrt{18}=3sqrt{2}$ , takže vidíš, že je to stejné, jako bys ten vektor (3,-3) vydělila trojkou a znormovala až potom. Je to tím, jak už jsem říkal, že násobení číslem (nenulovým) tu kolmost nezmění, takže pokud si pevně zvolíš vektor (1,1) a hledáš k němu kolmý, potom si sice můžeš vybrat (3,-3) nebo (1,-1) (případně libovolné nenulové násobky), ale když si pak ještě naložíš tu podmínku jednotkové velikosti, musíš se dostat k tomu samému (maximálně by ses mohla dostat k vektoru opačného směru). V R^2 si můžeš kreslit na papír šipky a uvidíš to.

Hanča123 · 19. 04. 2010 20:54

↑ LukasM:
šipky? .. to raději ne, vektory mi přijdou šílený.. snažím se naučit to co budu v pátek asi potřebovat a tím asi skončím,.. například najít ortogon. doplněk jsem už vzdala :o).. a doufám, že tam nebude..
.. moc a moc děkuji, v zásadě to není těžké, jen jde o ten způsob vysvětlení a ty jsi mi to úžasně vysvětlil :)

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2010 19:30

vektory a ortonormální báze

#2 18. 04. 2010 19:35

Re: vektory a ortonormální báze

#3 19. 04. 2010 10:52

Re: vektory a ortonormální báze

#4 19. 04. 2010 18:43

Re: vektory a ortonormální báze

#5 19. 04. 2010 18:51

Re: vektory a ortonormální báze

#6 19. 04. 2010 18:55

Re: vektory a ortonormální báze

#7 19. 04. 2010 19:24

Re: vektory a ortonormální báze

#8 19. 04. 2010 19:33

Re: vektory a ortonormální báze

#9 19. 04. 2010 19:56

Re: vektory a ortonormální báze

#10 19. 04. 2010 20:06

Re: vektory a ortonormální báze

#11 19. 04. 2010 20:24

Re: vektory a ortonormální báze

#12 19. 04. 2010 20:37

Re: vektory a ortonormální báze

#13 19. 04. 2010 20:47

Re: vektory a ortonormální báze

#14 19. 04. 2010 20:54

Re: vektory a ortonormální báze

Zápatí