Matematické Fórum

ondrax · 19. 04. 2010 21:34

Zdravím, mám tady jeden příklad se kterým si nevím rady, prosím, pomůžete?
Do daného čtverce ABCD, kde AB=a,je vepsán rovnostranný trojúhelník KLM tak, že K=A, L leží na BC, M leží na CD.Vyjádřete délku b strany (nechápu jak mám vyjádřit stranu b, když tam žádná není)rovnostranného trojúhelníku KLM pomocí délky a strany daného čtverce.

Tychi · 19. 04. 2010 21:48

no je to silně zmatené zadání, ale chápala bych to jako stranu l, vzhledem k tomu, že to má být strana trojúhelníku KLM

Chrpa · 19. 04. 2010 21:48

↑ ondrax:
Strana b je strana toho rovnostranného trojúhelníka.

ondrax · 19. 04. 2010 21:56

Ale trojúhelník má být KLM, tudíž předpokládám, že strany budou k,l,m

Chrpa · 19. 04. 2010 22:14

↑ ondrax:
Tudíž předpokládáš špatně.
b = l = m = n ( je to rovnostranný trojúhelník a ten má všechy strany,
jak už sám název napovídá stejně dlouhé.
Protože v úloze označili stranu čtverce jako a pak stranu trojúhelníku označili jako b
Prvními dvěma písmeny abecedy.

ondrax · 19. 04. 2010 22:17

díky za upozornění,ale jak tu stranu b mám vyjádřit?

BakyX · 19. 04. 2010 22:21 — Editoval BakyX (19. 04. 2010 22:27)

Trojuholník LMC je rovnoramenný pravouhlý trojuholník. Výška trojuholníka KLM + výška trojuholníka LMC je rovná uhlopriečke štvorca. Pomohlo ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

ondrax · 19. 04. 2010 22:26

↑ BakyX:
já se omlouvám, ale mám dlouhé vedení, vůbec nechápu co s tím příkladem mám dělat

BakyX · 19. 04. 2010 22:28

Pozri editovaný príspvok hore. Ty mas napísať niečo ako vzorec pre tento prípad. Tj. vyjadriť dĺžku "b" takým vzorcom, aby v ňom bola zahrnutá strana "a".

ondrax · 19. 04. 2010 22:36

uhlopříčka čtverce = a√2 ,ale pořád nevím jak sestavit ten vzorec?

BakyX · 19. 04. 2010 22:47 — Editoval BakyX (19. 04. 2010 22:47)

$a\sqrt{2}=\frac{b}{2}+\frac{b\sqrt{3}}{2}$

Z toho vyjadríš:

$b=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}$

Mam podrobnejšie ?

ondrax · 19. 04. 2010 22:51

↑ BakyX:
asi ano,protože já nemám vůbec představivost a nechápu jak to mám sestrojit?

Chrpa · 19. 04. 2010 22:51 — Editoval Chrpa (21. 04. 2010 10:09)

↑ BakyX:
Üplně nejjednodušeji:
$b=\frac{a}{\cos\,15^\circ}=2a\sqrt{2-\sqrt 3}$
Což je stejný výsledek jako ten Tvůj.

ondrax · 19. 04. 2010 23:04

děkuji za pomoc,ale asi to vzdám,potože mě to nic neříká.To jsem ve škole nikdy neslyšel a nevím jak bych takový vzorec odvodil .

Chrpa · 19. 04. 2010 23:05

↑ ondrax:
Už jste brali goniometrické funkce?

ondrax · 19. 04. 2010 23:08

ještě ne, jen na základce něco málo

BakyX · 19. 04. 2010 23:10

Máš pravdu. Diky za doplnenie. Pre informáciu: Uhol CLM=Uhol LMC=45. Uhol KLB=180-60-45=75. Uhol BKL=180-90-75=15. cos 15 = a/b.

BakyX · 19. 04. 2010 23:20 — Editoval BakyX (19. 04. 2010 23:23)

Ešte opišem moj sposob. Dĺžka uhlopriečky štvorca KC je rovná súčtu dĺžok výšok trojuholníkov KLM a LMC. LCM je rovnoramenný pravouhlý trojuholník. Označím vzdialenosť LC x. LC=CM=x. Podľa pytagorovej vety platí:

$x^2+x^2=b^2$
$2x^2=b^2$
$x^2=\frac{b^2}{2}$

Ďalej to nieje potrebné (dole uvidíš prečo).

Výška trojuholníka LCM na stranu LM je podľa vzorca rovná:

$v_1=\frac{x^2}{b}$

Za x^2 dosadím to, čo som vypočítal pomocou pytagorovej vety:

$v_1=\frac{\frac{b^2}{2}}{b}$
$v_1=\frac{b^2}{2b}$

Výška trojuholníka KLM na stranu LM je podľa vzorca rovná:

$v_2=\frac{b\sqrt{3}}{2}$

Uhlopriečka štvorca KC je podľa vzorca:

$u=a\sqrt{2}$

$u=v_1+v_2$
$a\sqrt{2}=\frac{b}{2}+\frac{b\sqrt{3}}{2}$
$a\sqrt{2}=\frac{b+b\sqrt{3}}{2}$
$2a\sqrt{2}=b(1+sqrt{3})$
$b=\frac{2a\sqrt{2}}{1+sqrt{3}}$

Je to jasné ?

ondrax · 20. 04. 2010 07:19

↑ BakyX:
Strašně moc děkuji za pomoc.Ale musím říct,že sám bych na to nikdy nepřišel.Délka uhlopříčky čtverce KC je rovná součtu délek výšek trojúholníků - KLM a LMC dnes slyším poprvé. kde zjistím tuto teorii, když jsme se to ve škole neučili?

ondrax · 20. 04. 2010 07:40

ještě se chci zeptat, proč je u v2 odmocnina ze tří?

Cheop · 20. 04. 2010 08:50 — Editoval Cheop (20. 04. 2010 08:51)

↑ ondrax:
Trojúhelník KLM je rovnostranný o straně b (v našem případě)
Pro výšku takového trojúhelníku platí:
$v=\frac{b\sqrt 3}{2}$
Vychátí to z tohoto:
Výška na stranu v rovnostranném trojúhelníku půlí tuto stranu na polovinu.
Pak podle Pythagorovy věty platí:
$b^2=v^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2\nlb^2=v^2+\frac{b^2}{4}\nl4b^2=4v^2+b^2\nl4v^2=3b^2\nlv^2=\frac{3b^2}{4}\nlv=\frac{b\sqrt 3}{2}$

BakyX · 20. 04. 2010 14:23 — Editoval BakyX (21. 04. 2010 14:42)

Ak chceš dvôkaz k jednotlivým veciam, tak si načrtni štvorec ABCD. Na úsečke AB označ bod K. Na úseške BC označ bod L. Na úsečke CD označ bod M. Na úsečke DA označ bod M. Pre jednotlivé úsečky musí platiť: AK=CM a LC=AN. Teraz vytvor dva trojuholníky: ALM, CKN. Z takéhoto obrázka sa dá veľa vyvodiť.

Cheop · 20. 04. 2010 14:44

↑ BakyX:
Nemá to být trojúhelník (ABCD), ale čtverec

BakyX · 21. 04. 2010 14:42

Dik za uporzornenie..Dobra CHYBA

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2010 21:34

Konstrukční úloha z planimetrie

#2 19. 04. 2010 21:48

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#3 19. 04. 2010 21:48

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#4 19. 04. 2010 21:56

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#5 19. 04. 2010 22:14

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#6 19. 04. 2010 22:17

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#7 19. 04. 2010 22:21 — Editoval BakyX (19. 04. 2010 22:27)

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#8 19. 04. 2010 22:26

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#9 19. 04. 2010 22:28

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#10 19. 04. 2010 22:36

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#11 19. 04. 2010 22:47 — Editoval BakyX (19. 04. 2010 22:47)

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#12 19. 04. 2010 22:51

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#13 19. 04. 2010 22:51 — Editoval Chrpa (21. 04. 2010 10:09)

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#14 19. 04. 2010 23:04

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#15 19. 04. 2010 23:05

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#16 19. 04. 2010 23:08

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#17 19. 04. 2010 23:10

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#18 19. 04. 2010 23:20 — Editoval BakyX (19. 04. 2010 23:23)

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#19 20. 04. 2010 07:19

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#20 20. 04. 2010 07:40

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#21 20. 04. 2010 08:50 — Editoval Cheop (20. 04. 2010 08:51)

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#22 20. 04. 2010 14:23 — Editoval BakyX (21. 04. 2010 14:42)

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#23 20. 04. 2010 14:44

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

#24 21. 04. 2010 14:42

Re: Konstrukční úloha z planimetrie

Zápatí