Matematické Fórum

jitka42 · 20. 04. 2010 10:49

Je dán čtverec ABCD se středem S. Sestrojte čtverec A´B´C´D´ ve stejnolehlosti H ( K, -1.5 ), K je střed SB.

jelena · 20. 04. 2010 11:04

↑ jitka42:

Zdravím,

už jsem odpovídala a prosila o konkretizaci problému. Děkuji.

jitka42 · 20. 04. 2010 12:15

Prosím o radu, jak to narýsovat, to je zadání.

frank_horrigan

↑ jitka42:

Narysuj si ctverec ABCD (o jeho velikosti nic nepises). V nem dve uhlopricky, jejich prusecik je bod S. Stred SB snad uz nalezt dokazes (je to osa usecky, vynes si dve kruznice vetsi nez polovina te usecky, jedna se stredem S, druha stejna se stredem B. Ty se ti protnou ve dvou bodech, jejich spojenim dostanes osu usecky, prusecik osy s useckou je jeji stred. (Konstrukce ze zakladni skoly.) Ted co s tim koeficientem stejnolehlosti. Plati, ze kdyz je zaporny, je obraz stredove soumerny podle K, je-li kladny, je obraz ve stejne polorovine jako original. Dale plati, ze kdyz je koeficient mensi nez 1, je obraz zmenseny, je-li vetsi nez 1, je zvetseny (to plati pro absolutni hodnotu koeficientu. Tak si spocitej pomer AB : 1,5*AB a mas stranu a "kopie". Dal uz to sestrojis?

jitka42 · 20. 04. 2010 13:23

↑ frank_horrigan:snad už to zvládnu, dík za rady

Rumburak · 20. 04. 2010 14:01

↑ jitka42:
Důležité je uvědomit si, jak je to "vektorově":
Bod $Y$ je obrazem bodu $X$ při uvažované stejnolehlosti právě tehdy, když je splněna rovnost

(S) $\vec{KY} \,=\, -\frac{3}{2}\,\vec{KX}$ .

Pro $X\,\ne\, K$ rovnost (S) znamená současné splnění následujících podmínek:

1. Bod $Y$ leží na přímce $p \,\eq\, \overline {KX}$ - tak je tomu u stejnolehlosti se středem $K$ vždy.

2. Bod $K$ je vnitřním bodem úsečky $XY$ - protože koeficient stejnolehlosti je záporný
(v případě kladného koeficientu by bod $K$ ležel mimo úsečku $XY$ - při koeficientu rovnému 1 by dokonce bylo $Y = X$ ).

3. Platí $\frac{|KY|}{|KX|} \,=\, \frac {3}{2}$ (při obecné hodnotě koeficientu $k$ by platilo $\frac{|KY|}{|KX|} \,=\, |k|$ ).

Můžeme si to představit tak, že přímku $p \,\eq\, \overline {KX}$ považujeme za číselnou osu, na níž $K\, \eq \,0$ , $X\, \eq \,1$ , $Y\, \eq \,-\frac{3}{2}$
(obecně $Y\, \eq \,k$ .)

Odtud snadno zjistíme, jakým způsobem bod $Y$ sestrojit, je-li dán jeho vzor $X$ .

POZNÁMKA. Obrazem bodu $K$ (tj. středu stejnolehlosti) je bod $K$ (říkáme, že bod $K$ je samodružný.)