Matematické Fórum

qazasd · 19. 04. 2010 06:58

Zdravim,

mam mnozinu bodu x,y lezicich na elipse a potreboval bych vypocitat jeji stred, hlavni a vedlejsi poloosu a orientaci (natoceni).
Souradnice bodu jsou vsak pouze priblizne a nektere jsou dokonce "uplne mimo". Takove bych chtel ignorovat tak aby vysledna elipsa proste +- protinala vetsinu bodu.

Omlouvam se za moje "odborne" matematicke vyrazy. Mohl by me nekdo, prosim, nasmerovat jak toto resit ? ...

PS) reseni potrebuji naprogramovat a proto mi nejde o vyjadreni problemu jako jedne rovnice, ale spis o postup jak se dostat k vysledku, nevim kam jinam se obratit.

Diky moc.

qazasd · 20. 04. 2010 06:18

Trochu jsem nad tim premyslel a prepsal to co vlastne potrebuji takto, ale jak resit nevim ... :(

Znam mnoznu bodu $P$ a mam nezname $A_x$ , $A_y$ , $B_x$ , $B_y$ a $r$

a potrebuju do neznamych dosadit hodnoty tak aby

$\sum_{i=1}^{n}(\sqrt{(A_x-P_{ix})^2 + (A_y-P_{iy})^2} + \sqrt{(B_x-P_{ix})^2 + (B_y-P_{iy})^2} - r)^2$

bylo co nejmensi ... asi :/ ...

Nemuzete me, pls, alespon nekdo nekam nasmerovat ?

Doxxik · 20. 04. 2010 23:29

Můj návrh na řešení (nejsem si tím ale jist):

- mějme danou jistou neprázdnou množinu bodů X[x,y]
- chceme získat rovnici (tedy informace v ní obsažené, samozřejmě..) takové elipsy, která by ideálně procházela body (kolem bodů)

- mějme rovnici elipsy: $\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$
- neznámé - $a$ , $b$ , $x_0$ , $y_0$ (celkem 4 neznámé, k vyřešení potřebujeme soustavu 4 rovnic)

- nechal bych počítačem spočítat všechny možné rovnice elips, které půjdou z daných bodů vytvořit (za předpokladu, že k charakteristice jedné elipsy je zapotřebí 4 jejích bodů)
- získal bych množiny všech $a$ , $b$ , $x_0$ , $y_0$
- vypočítal bych si průměrné hodnoty příslušných proměnných
- vytvořil bych z nich rovnici hledané elipsy

---
jedná se pouze o momentální nápad.. takže brát s rezervou ;)

qazasd · 20. 04. 2010 23:47

↑ Doxxik:

Ano, toto me take napadlo, jenze bodu mam 1200 a to by bylo jestli se nepletu 1200*1199/4 = 359700 elips.
Cele to potrebuju pocitat realtime, minimalne 10x-20x za sekundu (a take to neni jedina vec co musi pocitac delat :/ )

Navic se obavam, ze pokud bych pocital vsechny kombinace tak u kombinaci z bodu tesne vedle sebe by byla obrovska chyba, ktera by podle me zbytecne zapricinila urcitou nepresnost.

Nicmene dekuji, asi to vyzkousim abych videl jake to bude hazet vysledky ... ale nevim nevim :)

Doxxik · 21. 04. 2010 00:20

ad. množství bodů - o tom jsem neměl představu.. a mohl by to být problém
ad. chyba - v tom případě by bylo možné napřed odhadnout velikost elipsy a čím víc by se elipsa lišila od této předpokládané, tím menší by měla váhu..

.. ke zjednodušení výpočtů:
- možná by šlo využít toho, že by se nepočítaly čtveřice bodů, které by byly moc blízko u sebe (například by obvod čtyřúhelníku jimi tvořeného musel být větší něž nějaké konstantě $k$ )

check_drummer · 25. 04. 2010 11:08

Nešlo by na to použít metodu nejmenších čtverců?

pietro · 26. 04. 2010 22:39 — Editoval pietro (26. 04. 2010 22:39)

myslim, ze zo zadania este to komplikuje vychylenie oboch poloosi... teda treba rovnicu elipsy so stredom kdesi v xs,ys....... potom pootocit suradnicovy system o uhol alfa a takto vzniknute vztahy pouzit po roznasobeni ako model pre metodu najmensich stvorcov.... skusime ?

pietro · 26. 04. 2010 22:58

na otocenie som nasiel nieco tu BARTSCH

ale aj tu a su na prvy pohlad rozdielne... :-(

pietro · 26. 04. 2010 23:14

a na metodu najm. stvorcov pouzijeme napr.
tento odhad parametrov..

qazasd · 27. 04. 2010 05:49

pietro, diky, diky.

Co se tyce pootoceni souradne soustavy nevidim s vzorci problem. U obou vzorcu je rozdil akorat ve smeru transformace.
Jediny detail je, ze nevim o kolik mam soustavu otocit, toto vsak neni vlastne problem, protoze pres takovouhle jednu neznamou se jeste nejakou tou iteraci dostanu...

Opravdovy problem (pro me), je ten posledni vzorec ve kterem vidim nejake "beta s cepickou", X, T a y a ani jedno nevim co znamena :) ...

Je tedy mozne toto nejak aplikovat na vzorec elipsy v normalni poloze $\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ tak jak ji zde uvedl jiz Doxxik ?

Jeste jednou diky moc.

Kondr · 27. 04. 2010 07:45 — Editoval Kondr (27. 04. 2010 13:11)

Ten vzorec s "Beta s čepičkou" nám říká, že když máme systém lineárních rovnic daný maticí $X$ , tak jeho řešení umíme odhadnout jako $\hat{\beta}$ . Průšvih je v tom, že naše rovnice jsou tvaru $\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ , tedy nelineární, a tento vzorec nelze použít.

Možná nejméně komplikované bude hledat rovnici elipsy ve tvaru
$ax^2+by^2+cxy+dx+ey=f$ , kde f je vhodně zvolené číslo.
pak se a,b,c,d,e snadno určí metodou nejmenších čtverců bez iterace přes nějaký parametr (podle vzorce pro beta s čepičkou, matice X bude mít v řádcích vždy x^2,y^2,xy,x,y pro daný bod (x,y) z těch zadaných).

Problém nastane, pokud bude $4ab\leq c^2$ , tedy pokud vyjde hyperbola/parabola. Než nad tohle začneme řešit, chci se zeptat, jestli to hrozí (pokud jsou body zadané rovnoměrně po obvodu elipsy a nejsou od ní daleko, nemělo by to nastat).

pietro · 27. 04. 2010 09:39

↑ qazasd:Ahoj... vies mi poslat nejaku vzorku nameranych bodov x,y? takych 100 párov?

qazasd · 27. 04. 2010 11:05 — Editoval qazasd (27. 04. 2010 11:18)

Tak, konecne se mi podarilo udelat nejakej normalni vypis namerenejch hodnot.
Vsup mam v polarni soustave takze

1. sloupec (0,479) odpovida uhlu alfa 0 az 2PI
2. sloupec je r

3. a 4. je tedy prepocitano na x a y

cos(2pi/480 * a) * b
sin(2pi/480 * a) * b

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

http://forum.matweb.cz/upload/1272358563-mnozina.GIF

jenom bych chtel podotknout, ze stred polarni soustavy neni ve stredu elipsy jak se muze zdat. Je jenom pobliz.

Ono celou tuhle vec potrebuju prave kvuli eliminaci tech chyb mereni co jsou videt na obrazku. x % bodu vzdycky nekam odskoci a kdyz pocitam stred elipsy jako aritmetickej prumer pozic vsech bodu tak se jednoduse "hejbe" ... a ja bych potreboval aby drzel jak pribitej :)

Coz si rikam jestl neexistuje nejaky "soucet nejmensich logaritmu" protoze pro eliminaci chyb mi prijde zbytecne jim nakonec davat vetsi vahu nez ostatnim bodum ...

Doufam, ze to lze brat jako odpoved na oba dotazy. Odhazuji, ze 4ab <= c^2 musi platit aby mela rovnice 2 reseni. Bohuzel si v tom poslednim tvaru rovice pro elipsu nejak nedovedu predstavit co je a az f, ale hyperbola nebo parabola by vychazet opravdu nemela ...

Kondr · 27. 04. 2010 13:20

Koeficienty a,b,c,d,e,f samy o sobě nemají moc význam, ale lze pomocí nich zapsat každou kuželosečku. Pak se podle nějakých vzorců dá z těch koeficientů spočítat střed, osy, poloosy ...

Trochu jsem upravil předchozí příspěvek. Musíme totiž f zafixovat. Dál je postup jasný?

Zjistil jsem, že ta tvoje elipsa má rovnici 0.96238x² + 0.1962x y + 0.83961y² - 4.7021x - 1.58026y = 100000, po vykreslení vychází pěkně.

pietro · 27. 04. 2010 18:59 — Editoval pietro (27. 04. 2010 19:11)

Ahoj posielam ale nie som s tym spokojny, metoda najm,stvorc. je "blba" zohladnuje poruchy , skusim este odseparovat vychylene hodnoty..tie nas rusia. alfa v rad..=uhol otocena surad.osi, a,b,=poloosi , m,n,= stred

pietro · 27. 04. 2010 19:12 — Editoval pietro (27. 04. 2010 19:28)

alebo este iny model? skusime. k tomu vzorcu beta s cepickou:
y to je vektor nameranych ypsilonov ( 0...479) a X su funkcie, (mocniny a pod.) na pravej strane rovnice ( i je index) napr. ked by sme mali polynomicky model urcit metodou najm. stvorc. yi= b0*xi^3+b1*xi^2+b2*xi+b3==>
X je matica n..riadkov = pocet merani

x0^3, x0^2, x0 , 1.......nulty riadok matice X (x0 je prve namerane x)
x1^3, x1^2, x1 , 1....... prvy riadok matice X
.........atd.
X=.............atd.
.............
xn^3, xn^2, xn, 1.......posledny riadok matice X

no a to beta s cepickou je vlastne vektor b...koeficienty b0....b3, treba tam transponovat maticu= X s hornym indexom T a tiez robit inverznu maticu X na -1.

pietro · 27. 04. 2010 21:07

zlta= Kondr, modra=namerane, cerv=pietro z ocistenych dat

pietro · 27. 04. 2010 21:38

ešte doplnam rovnicu elipsy podla ktorej je cervena krivka
skor ako skusime iny model

pietro · 28. 04. 2010 13:45 — Editoval pietro (28. 04. 2010 13:49)

Pretoze ostatne veliciny ako uhol fi, cos fi, sin fi a nasledne aj x a y su odvodene premenne, skusal som prave to co bolo priamo bez uprav namerane a to zavislost r = f( i).. i=je poradove cislo merania ...je to akoby periodicka fcia, tak som tam dal sinx,sin (i)...cos i, cos 2i... a metodou najmensich stvorcov( s cepickou) a do takeho sin(4i) bola pekne uhladena a pri vyssich ..sin(7i )uz sa snazi skopirovat tie "poruchy" merania.
Ak je zaujem poskytnem modely aj s cislami.

qazasd · 28. 04. 2010 22:16

Aha uz chapu ... teda krom toho, ze mi to vubec nevychazi :)

Nevychazi mi ani trivialni priklad z wikipedie http://cs.wikipedia.org/wiki/Metoda_nej … verc%C5%AF

x + y = 0
2x - y = 4
x - y = 2

muj (pravdepodobne spatnej) postup vycisleni:

X =
1 1
2 -1
1 -1

X^T =
1 2 1
1 -1 -1

X^T X =
6 -2
-2 3

(X^T X)^-1 =
0,21 0,14
0,14 0,43

(X^T X)^-1 X^T =
0,36 0,29
0,57 -0,14

y =
0
4
2

(X^T X)^-1 X^T y =
1,14
-0,57

... jenze to ma vyjit
1,286
-1,143

... tak nejak nevim :) ... ale v zasade teda chapu a musim rict oooom [klanici se smajlik] dekuju.

akorat teda nemuzu najit jak pak a..f prevest na nejaky to parametrycky vyjadreni ty elipsy, ale to snad jeste nekde najdu ...

Kondr · 28. 04. 2010 22:38

Nezdá se mi výpočet (X^T X)^-1 X^T , měla by vyjít matice o 3 sloupcích.

Pokud jde o dopočítání parametrů, stačí kouknout na wiki
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_rep … ons#Center

pietro · 28. 04. 2010 23:32

↑ qazasd:zdravim a posielam...

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2010 06:58

Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#2 20. 04. 2010 06:18

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#3 20. 04. 2010 23:29

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#4 20. 04. 2010 23:47

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#5 21. 04. 2010 00:20

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#6 25. 04. 2010 11:08

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#7 26. 04. 2010 22:39 — Editoval pietro (26. 04. 2010 22:39)

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#8 26. 04. 2010 22:58

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#9 26. 04. 2010 23:14

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#10 27. 04. 2010 05:49

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#11 27. 04. 2010 07:45 — Editoval Kondr (27. 04. 2010 13:11)

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#12 27. 04. 2010 09:39

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#13 27. 04. 2010 11:05 — Editoval qazasd (27. 04. 2010 11:18)

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#14 27. 04. 2010 13:20

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#15 27. 04. 2010 18:59 — Editoval pietro (27. 04. 2010 19:11)

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#16 27. 04. 2010 19:12 — Editoval pietro (27. 04. 2010 19:28)

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#17 27. 04. 2010 21:07

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#18 27. 04. 2010 21:38

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#19 28. 04. 2010 13:45 — Editoval pietro (28. 04. 2010 13:49)

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#20 28. 04. 2010 22:16

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#21 28. 04. 2010 22:38

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

#22 28. 04. 2010 23:32

Re: Vypocet parametru elipsy podle mnoziny bodu

Zápatí