Matematické Fórum

Ewita · 22. 08. 2007 11:46

Mám příklad
pokud by tam nebyl byl logaritmus na 2, ale jen na 1 řešila bych to takto

Je to dobře? A jak tam mám dostat to na 2?

Avery · 22. 08. 2007 20:11

Je to správně :-) koukni se na http://math.feld.cvut.cz/mt/txtd/3/txc3da3d.htm

Pokud by se v integrálu tohoto typu vyskytla celá mocnina logaritmu, použili bychom zase triku se zabíjením ln(x) (Tento trik je založen na tom, že derivací logaritmu získáme mocninu.) pomocí per partes; při každém použití metody bychom snížili mocninu u logaritmu o jednu.

jelena · 22. 08. 2007 22:14

Kolega Avery ma pravdu - pro vyssi mocninu ln pouzijeme take per partes, jen f(x) bude druha mocnina ln (jak je zadano) :
tj. f(x) = ln^2 x, g´(x) =1.
Po prvnim integrovani dojdes ke kroku, ve kterem budes moci pouzit svuj jiz overeny postup pro integraci ln x (jen pozor na zavorky a na znamenka).

Marian · 26. 08. 2007 00:13 — Editoval Marian (26. 08. 2007 00:16)

Pridavam k vasim prispevkum jeden vzorecek, ktery se da dokazat napriklad pomoci matematicke indukce. Tyka se integrovani prirozenych mocnin logaritmu. Presneji, plati toto:

Necht $m\in\mathbb{N}$ . Pak plati

$\int\left (\ln x\right )^m\, {\rm d}x\, =x\cdot\left (\left (\ln x\right )^m+(-1)^mm!+\sum_{k=1}^{m-1}(-1)^{m-k}\cdot\frac{m!}{k!}\left (\ln x\right )^k\right )+C\, ,$

kde $C\in\mathbb{R}$ je integracni konstanta.

Kdo ma cas, at treba provede dukay indukci zde na foru. Pokud se vyuzije definice takzvaneho prazdneho soucinu $0! =1$ , pak lze vzorec zapsat jeste snadneji takto:

$\int\left (\ln x\right )^m\, {\rm d}x\, =x\cdot\left (\left (\ln x\right )^m+\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{m-k}\cdot\frac{m!}{k!}\left (\ln x\right )^k\right )+C.$

Marian

Matematické Fórum

#1 22. 08. 2007 11:46

Integrál s logaritmem

#2 22. 08. 2007 20:11

Re: Integrál s logaritmem

#3 22. 08. 2007 22:14

Re: Integrál s logaritmem

#4 26. 08. 2007 00:13 — Editoval Marian (26. 08. 2007 00:16)

Re: Integrál s logaritmem

Zápatí