Matematické Fórum

Hanča123 · 21. 04. 2010 17:19

Ahoj, můžete mi prosím někdo poradit s postupem jak vyřešit tento příklad:

Najděte ortogonální doplněk v R^4 podprostoru, který je generován vektory:

(3,-1, 2,5) (6,-2,3,1) (3,-1,3,14) (12,-4,8,20)

Potřebovala bych návod jak na to, tzv. "kuchařku", bohužel ve skriptech, která mám k dispozici je to asi španělsky, ale tomu nějak nerozumím :o)

lukaszh · 21. 04. 2010 23:03

↑ Hanča123:

Ortogonálny doplnok k podpriestoru V je podpriestor, ktorého prvky sú ortogonálne vzhľadom na prvky V. Označujeme ho $V^{\bot}$ . Vektorový priestor $\mathbb{R}^4$ môžeme rozložiť na priamy súčet
$\mathbb{R}^{4}=V\oplus V^{\bot}$

Na jednoduchom príklade: V rovine $\mathbb{R}^2$ máme daný vektorový podpriestor $V\subset\mathbb{R}^2$ , ktorý je generovaný vektorom (1,0). Máme nájsť ortogonálny doplnok k V. Intuitívne je to podpriestor generovaný vektorom (0,1). Ak to chceme vypočítať, tak postupujeme z definície ortogonality. Hľadáme také vektory (x,y), ktoré sú kolmé k (1,0) teda musí platiť

Sú to teda také vektory, ktorých skalárny súčin s vektorom (1,0) je nulový. Majú tvar, že v prvej zložke je nula a v druhej zložke je ľubovoľné reálne číslo. Taký podpriestor zapíšeme jednoducho ako lineárny obal
$V^{\bot}=\rm{span}[(0,1)]$

Ešte poznámka k dimenzii: Dimenzia ortogonálneho doplnku je dimenzia celého priestoru mínus dimenzia podpriestoru V. Vyplýva to aj z rovnice

Je aj celkom zrejmé, že v 2-rozmernom priestore nemôže byť ortogonálnych bázových vektorov viac ako 2. To isté pre 4-rozmerný priestor. Ak teda máme zadané 4 vektory ako u teba, a zistíme, že sú lineárne nezávislé, tak ortogonálny doplnok bude len triviálny podpriestor
$V^{\bot}=\{\vec{0}\}$
pretože tieto štyri vygenerujú celý štvorrozmerný priestor. Nemá teda žiadny netriviálny ortogonálny doplnok.

Všeobecne, hľadáme také vektory $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ , ktorých skalárny súčin s tvojimi zadanými je nulový. Teda

Respektíve ako systém rovníc

Riešením nájdeš to čo hľadáš.

Hanča123 · 22. 04. 2010 19:53

Díky moc, díky tomuto vysvětlení už vím jak na to :)

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2010 17:19

Najděte ortogonální doplněk v podprostru

#2 21. 04. 2010 23:03

Re: Najděte ortogonální doplněk v podprostru

#3 22. 04. 2010 19:53

Re: Najděte ortogonální doplněk v podprostru

Zápatí