Matematické Fórum

Nell · 22. 04. 2010 20:54

V rozvoji výrazu (3x^3-2/x)^6 určete koeficient u x^2.

Tady nevim co mám počítat. Jakoby druhý člen? Popřípadě kolik výjde?

petrkovar · 22. 04. 2010 21:00

↑ Nell:Bude to sooučet několika koeficientů. Podle binomické věty vyjádříme obecný člen polynomu a zjistíme, pro jaké parametry vyjde u $x$ druhá mocnina.

zdenek1 · 22. 04. 2010 21:02

↑ Nell:
Ne.
V tom rozvoji bude někde člen ${6\choose k}\cdot(3x^3)^{6-k}\cdot\left(-\frac2x\right)^k$ takový, že mocniny u $x$ vytvoří $x^2$ .
Co se musí stát, aby to platilo?
Musí být
$(x^3)^{6-k}\cdot(x^{-1})^k=x^2$
tj. $18-3k-k=2$
$k=4$
To dosadíš zpátky do výrazu ${6\choose k}\cdot(3x^3)^{6-k}\cdot\left(-\frac2x\right)^k$ a dostaneš
${6\choose 4}\cdot(3x^3)^{6-4}\cdot\left(-\frac2x\right)^4$
a dostaneš $15\cdot9\cdot16x^2$ a vypočítáš

Nell · 22. 04. 2010 21:31

↑ zdenek1: Kam se ti podělo (6 nad k) a 3 před 3x^3 a ta 2, v tom jak tam dáváš že x^2 se musí rovnat (x^3)^{6-k}\cdot(x^{-1})^k=x^2?

zdenek1 · 22. 04. 2010 21:35

↑ Nell:
$(x^3)^{6-k}\cdot(x^{-1})^k=x^2$
hledám podmínku proto, aby mi exponenty daly dvojku. V tomto okamžiku mě konstatnty nezajímají. Ke konstantám se vrátím, až tu podmínku najdu.

Chrpa · 22. 04. 2010 21:38 — Editoval Chrpa (22. 04. 2010 21:39)

↑ Nell:
$(x^3)^{6-k}\cdot(x^{-1})^k=x^2$
Nikam se nepoděla ani trojka a ani dvojka
Toto vyjadřuje jen to, pro které k zůstane při rozvoji požadované $x^2$

Nell · 22. 04. 2010 21:51

↑ Chrpa:Kolik má vyjít ten koeficient u x^2. Nebo jak se dopočítá ten poslední krok?? Nemá se to něčemu rovnat?

Chrpa · 22. 04. 2010 22:15 — Editoval Chrpa (22. 04. 2010 22:19)

↑ Nell:
$(x^3)^{6-k}\cdot(x^{-1})^k=x^2\nlx^{18-3k-k}=x^2\nl18-4k=2\nl4k=16\nlk=4$
Pro k = 4 bude v rozvoji platit, že zůstane x^2
To k = 4 dosadíme do tohoto vzorce:
${6\choose k}\cdot(3x^3)^{6-k}\cdot\left(-\frac2x\right)^k$
${6\choose 4}\cdot(3x^3)^{6-4}\cdot\left(-\frac2x\right)^4\nl\frac{6\cdot 5}{2}\cdot(3x^3)^2\cdot\left(-\frac{2}{x}\right)^4\nl15\cdot 3^2\cdot x^6\cdot(-2)^4\cdot x^{-4}\nl15\cdot 9\cdot 16\,x^2=2160x^2$
Koeficient tedy bude: 2160
PS:
${6\choose 4}={6\choose 2}=\frac{6\cdot 5}{2}=15$

Matematické Fórum

#1 22. 04. 2010 20:54

Binomická věta

#2 22. 04. 2010 21:00

Re: Binomická věta

#3 22. 04. 2010 21:02

Re: Binomická věta

#4 22. 04. 2010 21:31

Re: Binomická věta

#5 22. 04. 2010 21:35

Re: Binomická věta

#6 22. 04. 2010 21:38 — Editoval Chrpa (22. 04. 2010 21:39)

Re: Binomická věta

#7 22. 04. 2010 21:51

Re: Binomická věta

#8 22. 04. 2010 22:15 — Editoval Chrpa (22. 04. 2010 22:19)

Re: Binomická věta

Zápatí