Matematické Fórum

Jurda9 · 22. 04. 2010 18:23

pls, nevím si s tím rady :))

koule s poloměrem r=12cm je provrtána válcovám otvorem s pololoměrem 5cm středem koule. Vypočítej objem takto vzniklého tělesa

sekulcanka · 22. 04. 2010 19:07

No možno takto, aj keď to nevychádza moc pekne :-). Skús na to pozrieť :-)

Mr.Pinker · 22. 04. 2010 21:44

já bych řekl že to vytvoří anuloid a ten se dá spočítát podle itegrálu ale možná je to špatná má představivost

zdenek1 · 22. 04. 2010 22:04

↑ Mr.Pinker:
Nevím jestli je to anuloid, ale ↑ sekulcanka: určitě zapoměla odečíst ty dvě kulové úseče. A taky bych to viděl na integrál.

Doxxik · 22. 04. 2010 22:06

Zdravím ↑ Mr.Pinker:,

bohužel to anuloid nebude (alespoň se tak domnívám). "Anuloid je útvar vzniknuvší rotací kružnice... " - my ale máme rotované jakési "D"
Nicméně přes určitý integrál to spočítat půjde (nebo by to alespoň mělo jít :).

frank_horrigan

Neznam integraly, ale resil bych to takto (nemusi to byt nutne spravne): Vypoctu si klasicky objem koule $http://upload.wikimedia.org/math/b/5/9/b59ac5ca15c38bc95983f1f0abc68f4c.png$ . Od tohoto objemu odectu oba vrchliky, k tomu potrebuju polomer podstavy (mam) a výšku toho vrchliku, ze vztahu $http://upload.wikimedia.org/math/1/0/6/106b7d63e7a7df4d758f237747e28ff8.png$ , kde ró je polomer podstavy vrchliku, r polomer koule a v výska toho vrchliku si vyjadrím takto výšku : , dosadim do vzorce pro vypocet objemu vrchliku: $http://upload.wikimedia.org/math/4/e/b/4eb1bcf864b33975d9e31045101bb41a.png$ a tyto dvakrat odectu od objemu cele koule. V tuhle chvili mam objem koule zbavene obou protilehlych vrchliku, kdo kterych budeme "vrtat valec". Ok. Jeho výska je dana vztahem 2r- 2*v (vrchliku ktere uz nejsou), takze mame vsechno. Dal uz bys to mel dopocitat.

zdenek1 · 25. 04. 2010 16:13

↑ Jurda9:

Objem tělesa, které vznikne rotací funkce $f(x)$ kolem osy $x$ , je dán $V=\pi\int_{x_1}^{x_2}(f(x))^2dx$
V našem případě je $f(x)=\sqrt{R^2-x^2$ , $x_2=\sqrt{R^2-r^2}$ a $x_1=-x_2$ (R je poloměr koule, r poloměr válce)
$V=\pi\int_{-x_2}^{x_2}(R^2-x^2)dx-\pi\int_{-x_2}^{x_2}r^2dx$ (od objemu těleas vzniklého rotací kruhového oblouku musíme odečíst onjem válce. ten vznikne rotací přímky $y=r$ ve stejných mezích)
$V=\pi(R^2x-\frac13x^3-r^2x)/_{-x_2}^{x_2}=\pi x(x_2^2-\frac13x)/_{-x_2}^{x_2}=\frac43\pi x_2^3=\frac43\pi(R^2-r^2)\sqrt{R^2-r^2}=\frac{476\pi\sqrt{119}}3$