Matematické Fórum

Můžeš trochu upřesnit co myslíš tím "rovnosti termů splňují grupové vlastnosti"? Možná by neuškodil nějaký konkrétní příklad takové teorie T + množiny A.

Něco málo o varietách algeber je zde: http://www.math.muni.cz/%7Epolak/Algebr … lgebra-.ps -- třeba pomůže.

7867088 napsal(a):

Varieta algeber V určená teorií T algebraicky splňuje množinu A, pokud všechny prvky A jsou termem v teorii T tak, že rovnosti termů splňují grupové vlastnosti.

Je to myšleno zatím pro grafické reprezentace algebry, koalgebry, bialgebry (dokonce snad na internetu existují programy, které diagram axiómů algeber vykreslí). Neumím v Texu, bohužel, takže se omlouvám za nedostatečnost mých formulací. Pro formulaci jsem použil grafické interpretace algeber, ale nejedná se o tradiční rovinné algebraické variety. Je to jen způsob, jak si to mohu představit a navíc se to dál hodí pro různé aplikace, o kterých tu nebudu mluvit.

Inu, vezmu například grafické reprezentace algebry a koalgebry. Jejich varietou je bialgebra (?) čili i diagram bialgebry je určitou varietou, i když ne tak důležitou - vypadá takto >---< pro určitý výraz (term). Varieta algebry/koalgebry je tedy diagram bialgebry. Tato varieta je určená teorií, což je množina rovností termů, na tom se shodneme. Znamená to, že bialgebra je určená množinou rovností termů algebry a koalgebry.
Ještě jednou zopakuji, že diagram bialgebry pak vypadá jako >---<. Když přiřadím (podle určitých pravidel - jsou například v knize Topological geometrodynamics) prvky diagramu bialgebry vlastním axiómům, které diagram "generují", rozložím tak vlastně diagram a přenesu jeho prvky do termů teorie T. Množina A, o které jsem mluvil, má prvky, jež odpovídají prvkům termů T. To je ta nejsložitější část.
Pak, když mám bialgebru s přiřazenými a dekomponovanými prvky, vrátím se zpět ke kreslení diagramu. Ten evidentně splňuje dihedrální grupu a tedy grupové vlastnosti.

Množina A je zobrazena na bialgebru (varietu V určenou teorií T) a tedy, jak vyplývá z posledního odstavce, splňuje grupové vlastnosti.

Bialgebra, tedy splňuje množinu A - zatím jsou prvky bijektivně zobrazeny libovolně (což pro aplikace, pro které toto formuluji absolutně neplatí, tam je třeba množina A také grupou, ale nic to nemění!).

Tak, existuje něco podobného pro algebraické variety? :-) například eliptické křivky, pro ty bych něco podobného také rád vytvořil...později.

Zatím prosím o pomoc s formulací mých myšlenek.

Děkuji za Vaši ochotu

rozumím vám, já zase příliš nerozumím analýze ;-)
ovšem ve vašem příspěvku mluvíte o tom, že vám to připadá že mluvím o algebraických varietách a varietách algeber současně. Nikoli. Vlastně jsem trochu přemýšlel o algebraické splnitelnosti variet eliptických křivek (tady bych váš požádal o nějaký text pro upřesněnou, abych se při formulaci definice nedopustil nějaké zbytečné chyby - tedy nějaký text o eliptických křivkách jako takový, pokud možno v češtině)...a jak jsem tak přemýšlel a trochu modifikoval definici pro algebraické variety (v principu je to totožná s definicí pro variety algeber) pak varieta eliptických křivek algebraicky splňuje množinu reálných čísel. Neboť: algebraická varieta eliptických křivek V(e) je vlastně (jakoby - to jen pro představu spojitosti původní definice) určena polynomy ve tvaru Weirestrassových rovnic (tedy jakousi teorii T)...(je těžké to formulovat bez Texu :-( ) ale existuje množina A,  jejiž prvky jsou vyjádřeny v těch rovnicích. A jak správně píšeš, splňují grupové oprace abelovské grupy. Suma sumárum, varieta V(e) algebraicky splňuje množinu A a navíc můžu říci, že množina A je množina reálných čísel.
Z toho tedy plyne, že vůbec nevadí, když na množině A můžeme definovat strukturu (například v našem případě těleso) nebo například grupu, v případě daleko složitějším, ale to už bych lezl do fyziky.

Tak přemýšlím, zda se v definici alg. splnitelnbosti alge. variet nedopouštím fatální chyby, ale jestli ano, bude jistě lehko odstranitelná. Budu rád, když mě na ni upozorníš.

(definicí alg. splnitelnosti variety algeber jsem si ale jist) ten krok s eliptickými křivkami dělám navíc...takže o něj bnemám moc zájem ;-)

s pozdravem Honza

↑ 7867088: Jako takový úvodní text může posloužit http://www.math.muni.cz/~kucera/texty/ATC10 , kde je důraz kladen na křivky nad konečnými tělesy.

Zkusme třeba Weierstrassovu rovnici brát jako teorii. Pokud bychom brali x,y jako proměnné v termu, pak dostáváme nějakou dost triviální algebru. Rozumnější je brát x a y jako unární termy, tedy brát tu rovnici jako . To je nějaká varieta algeber typu (*,-,x,y), do které patří eliptická křivka nad libovolným tělesem s operacemi * a - převzatými z tělesa a projekcemi x,y. O této varietě mi přijde divné tvrdit, že algebraicky splňuje reálná čísla, když v ní leží křivka definovaná třeba nad . Jinou spojitost mezi eliptickými křivkami a varietami algeber nevidím. Ale jak jsem psal, z univerzální algebry znám jen základy a teorie kategorií mi neříká zhola nic.

↑ Kondr:znamená to tedy, že exponenciální a kvadratické rovnice mají stejnou varietu algeber ale jsou odlišné v tom smyslu, že se konstanty vyskytují na opačných místech?