Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Limita integrálu s aritmetickou funkcí (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 22. 04. 2010 19:33
Limita integrálu s aritmetickou funkcí
Vyšetřete limitu
kde 
značí tzv. nearest integer function někdy označovaná nint(x).
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Marian)
#2 22. 04. 2010 23:34 — Editoval lukaszh (23. 04. 2010 09:04)
Re: Limita integrálu s aritmetickou funkcí
![$x\in\left(\frac{2}{3}\cdot n,1\right]\;\Rightarrow\;||n\cdot x^{-1}||=1$](/mathtex/27/2775dde0833d1fbe30686facb81a2f32.gif "kopírovat do textarea")
![$x\in\left(\frac{2}{5}\cdot n,\frac{2}{3}\cdot n\right]\;\Rightarrow\;||n\cdot x^{-1}||=2$](/mathtex/de/dec3737b6228adc4c6b6ce4859ab2517.gif "kopírovat do textarea")
"The mathematical rules of the universe are visible to men in the form of beauty."
John Michel
Offline
#3 23. 04. 2010 09:52 — Editoval Rumburak (23. 04. 2010 10:21)
. V tom případě pro libovolná reálná x, n , x <> 0 je
, takže pro n > 1
, 
, 
.#4 23. 04. 2010 13:48 — Editoval Marian (23. 04. 2010 13:48)
Re: Limita integrálu s aritmetickou funkcí
↑ lukaszh:
Uvažoval jsem velmi podobně, ovšem nám je tato shoda dosti často souzena.
↑ Rumburak:
Velmi se těším z tak elementárního přístupu. Ovšem musím souhlasit s tím, že to není těžké (ani v podání ↑ lukaszhe:).
Úlohu jsem našel v prvním kole kolumbijské olympiády na universitní úrovni pro tento rok.
Své řešení nebudu rozepisovat podrobně, pouze naznačím, že jsem provedl lineární transformaci integrálu x/n --> t. Dále jsem využil aditivity integrálu a pro libovolné přirozené číslo n jsem odhadnul dostatečně přesně studovaný integrál (výpočet se velmi podobá lukaszhově). Asymptotickou rovnost studovaného integrálu s přirozeným logaritmem (pro n --> +oo) jsem obdržel pomocí parciálních součtů jisté nekonečné řady.
Offline
#5 24. 04. 2010 15:14
Re: Limita integrálu s aritmetickou funkcí
![$\frac{1}{n} \int_1^n \parallel n\cdot x^{-1}\parallel\,\mathrm{d}x = \frac{n-1}{n} \int_0^1 \parallel n\cdot [1+(n-1)t]^{-1}\parallel\,\mathrm{d}t> (n-1) \int_0^1 \frac{1}{1+(n-1)t}-1\,\mathrm{d}t = 1+n(-1+\ln{n}) $](/mathtex/19/1996dc6a768bf87b73542976683858a5.gif "kopírovat do textarea")
1 + 1 = 1 + 1
... a nebo taky ne
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Limita integrálu s aritmetickou funkcí (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)