Matematické Fórum

ninulin · 24. 04. 2010 18:33

Ahoj,pomůže mi prosím někdo vyřešit tento příklad:
Jaká je maximální rychlost u matematického kyvadla, je-li maximální výchylka x a délka kyvadla d??

Cermix · 24. 04. 2010 20:53 — Editoval Cermix (24. 04. 2010 20:56)

Tošku napovím. Maximální rychlost bude v době, kdy kyvadlo bude v poloze kolmé na gravitační púsobení Země (prostě kolmo k podlaze :) ) No a pokud jsem nic z fyziky nezapoměl, tak rychlost které bude kyvadlo mít v určité době je rovno okamžité rychlosti v téže době volného pádu.. snad :).
takže podle toho se řídím. Výškový rozdíl mezi nejvyšším a nejnižším bodem průchodu kyvadla označme třeba h. pomocí několika úprav jsem došel k závěru, že $h=d.(1-cos\alpha)$ okamžitá rychlost v čase t je dána vztahem $v=g.t$ g je gravitaní zrychlení, takže zbývá odvodit čas t. Ze vzorce pro uraženou dráhu při zrychlení $h=\frac12.g.t^2$ si vyjádříme $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ a po dosazení do původního vzorečku nám výjde, že maximální rychlost matematického kyvadla je $v=\sqrt{2.g.d(1-cos\alpha}$
Tak snad je má úvaha správná, doufám, že to někdo rychle zkontroluje :

rughar · 25. 04. 2010 00:07 — Editoval rughar (25. 04. 2010 00:07)

↑ Cermix:

Toto je ve skutečnosti výchylka pro reálné kyvadlo, nikoli matematické. Pro matematické kyvadlo platí, že výchylka (oznmačím ji třeba x1) odpovídá funkci

$x_1 = x sin(\omega t) = x sin(\sqrt{\frac{g}{d}} t)$

Rychlost získám derivováním v čase

$v = x \sqrt{\frac{g}{d}} cos(\sqrt{\frac{g}{d}} t)$

A odtud mám maximální ryhlost

$v = x \sqrt{\frac{g}{d}}$

K podobnému vztahu by šlo dospět i tvým postupem skrz reálné kyvadlo. Jen by musel na konci udělat tuto úpravu

Matematické kyvadlo odpovídám reálnému pro malé vychýlky, čili můžeme uvažovat

$cos(\alpha) \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}$

A tedy

$v=\sqrt{2gd(1-cos\alpha)} \approx \sqrt{gd\alpha^2} = \sqrt{\frac{gd^2\alpha^2}{d}} = x\sqrt{\frac{g}{d}}$

Cermix · 25. 04. 2010 11:10

↑ rughar:
Aha, díky, já nikdy nestudoval pojmy jako matematické a reálné kyvadlo.. Prostě jsem si myslel, že matematické kyvadlo je stejné jako kyvadlo v reálu, ale bez tření :D

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2010 18:33

Matematické kyvadlo

#2 24. 04. 2010 20:53 — Editoval Cermix (24. 04. 2010 20:56)

Re: Matematické kyvadlo

#3 25. 04. 2010 00:07 — Editoval rughar (25. 04. 2010 00:07)

Re: Matematické kyvadlo

#4 25. 04. 2010 11:10

Re: Matematické kyvadlo

Zápatí