Matematické Fórum

divien · 25. 04. 2010 18:21

Potřebovala bych poratit se dvěma příklady na algebru, ačkoliv jsem již propočítala nesčetně podobných příkladů tak mi tyto dva nejdou a vůbec nevím proč?
1.
c1(3x^3 + 2x^2 + x +1) + c2(x^3 + 4x^2 - 3x + 2) + c3(2x^3 + 5x^2 - x) + c4 (x^3 + x^2 + 2x - 2)
- mám zjistit zda se jedná o lineární kombinaci?

2.
určete bázi podpostoru B v R4
(-2 3 3 2), (1 5 7 0), (3 4 -1 1), (2 12 9 -1), (1 2 2 0)

oli.G · 25. 04. 2010 19:37

Tak, pustil som sa do dvojky.. ale mam to len ciastocne

Priestor mas v tomto priklade dany jeho linearnym obalom, cize lin. kombinacie tychto vektorov tvoria cely priestor. Mas najst bazu, o ktorej vieme ze obsahuje 4 vektory, kedze ide o 4-rozmerny priestor. Robi sa to myslim tak, ze si tie dane vektory (oznacme ich a,b,c,d,e) prepises do matice a snazis sa zistit, ktore 4 su lin. nezavisle (baza) a ktory je tam navyse.

takze

a b c d e
/ -2 1 3 2 1 \
| 3 5 4 12 2 |
| 3 7 -1 9 2 |
\ 2 0 1 -1 0 /

... prva uprava, prehodime stlpce a, e ...

e b c d a
/ 1 1 3 2 -2 \
| 2 5 4 12 3 |
| 2 7 -1 9 3 |
\ 0 0 1 -1 2 /

...potom elementarne riadkove upravy - -2 nasobok 1.riadku pripocitas k 2. a 3. riadku, atd., az kym nedostanes trojuholnikovy tvar, ktory mne vysiel takto:

e b c d a
/ 1 1 3 2 -2 \
| 0 3 -2 8 7 |
| 0 0 -11 -25 -14 |
\ 0 0 0 -36 8 /

dalej si ale neviem rady - prve tri stlpce (cize vektory b, c, e zo zadania) su urcite LIN. NEZAVISLE a patria do bazy.
ako ale rozhodnut, ktory z vektorov a, d tam patri?? poradi niekto? :)
mozem tam vybrat hociktory alebo musim zistit, ktory z nich sa da dostat ako lin. kombinacia toho druheho a vektorov b,c,e ? ak hej, ako? :)

Kondr · 25. 04. 2010 20:18

↑ oli.G: Nekontroloval jsem číselně, ale popis vypadá rozumně. Zde si můžeme vybrat libovolně, který vektor z <a,d> do báze dáme. Prostor má totiž nekonečně mnoho bazí, jako odpověď je možno uvést i kanonickou {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}.

U té jedničky: to zadání mi připadá nesmyslné. Nemělo to znít takto?

Určete, zda jsou vektory (3x^3 + 2x^2 + x +1), (x^3 + 4x^2 - 3x + 2),(2x^3 + 5x^2 - x) a (x^3 + x^2 + 2x - 2) lineárně nezávislé.

Případně "rozhodněte, zda jde vektor p vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů q,r,s" (kde p,q,r,s jsou uvedené polynomy v nějakém pořadí).

divien · 26. 04. 2010 09:09

navrhované "upravené" zadání mi také připadá daleko lepší, ale bohužel zadání opavdu zní že máme ověřit zda se jedná o lineární kombinaci pro mne to bohužel nemění nic na tom, že danný příklad neumím vyřešit. zkoušela jsem to přes znění věty c1x1 + c2x2 + ..... +cnxn = 0, pak jsem využila matic - převedla jsem danou matici na tojúhelníkový tvar + viz dále postup z internetových stránek http://www.studopory.vsb.cz/studijnimat … index.html ale nevím zda tento postup je možný?? (kontrola mi nevyšla)

LukasM · 26. 04. 2010 10:59

↑ divien:
Ahoj. Nevím jakou "větu" myslíš, to co píšeš připomíná spíš část definice (bez kvantifikátorů) LN souboru vektorů, a jako taková nám bude asi k ničemu, to v zadání nikdo nechce. Ten odkazovaný postup jsem neviděl, můj prohlížeč to moc nedával, ale předpokládám, že i tam šlo jen o určování LN/LZ, což není náš případ. Můžeš zkusit svůj postup poslat, ale jsem si téměř jistý, žes řešila něco jiného než je v zadání.

Pokud zadání opravdu vypadá tak jak píšeš, tak je podle mého jediná možná odpověď. Pokud c1,c2,c3 a c4 jsou čísla z tělesa nějakého prostoru polynomů, na kterém se pohybujeme (význam těch písmenek by snad v zadání měl být, prostor taky), pak celý ten dlouhý výraz je skutečně nějaká lineární kombinace těch čtyř vektorů (přesněji její hodnota v bodě x). Musí to tak být, protože je to součet nějakých násobků těch čtyř polynomů, tedy lineární kombinace. Nijak líp na to odpovědět já osobně neumím.

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2010 18:21

algebra

#2 25. 04. 2010 19:37

Re: algebra

#3 25. 04. 2010 20:18

Re: algebra

#4 26. 04. 2010 09:09

Re: algebra

#5 26. 04. 2010 10:59

Re: algebra

Zápatí