Matematické Fórum

RePRO · 26. 04. 2010 07:38 — Editoval RePRO (26. 04. 2010 07:39)

Najděte inverzní funkci $argtgh x$ k funkci $f(x) = tgh x$

Totálně netuším.

jelena · 26. 04. 2010 09:12

↑ RePRO:

definice + vybavit si, jak se odvozuje inverzní funkce.

RePRO · 05. 05. 2010 15:07

↑ jelena: Víš, vůbec si tu funkci nedokáži představit. Co znamená to písmeno -h- na konci?

To znamená, oživuji vlákno.

Rumburak

Funkce $g(x) \,=\, \text{argtgh}\, x$ už JE inversní funkcí k fci $f(x) \,=\, \text{tgh}\, x$ ,
smyslem úlohy je vyjádřit ji pomocí jednodušších funkcí.
Nápověda : jakým způsobem je definována funkce tgh (hyperbolická tangens) ?

RePRO · 05. 05. 2010 15:34

↑ Rumburak: Teďkom nevím, co máš na mysli.

tg x = sin x / cos x
tgh x = sinh x / cosh x
sinh x = (e^x - e^-x)/2
cosh x = (e^x + e^-x)/2

Hm, tyto funkce jsou překvapivě podobné goniometrickým funkcím, ačkoliv nemají vůbec nic společného s trojúhelníky. Podobnost plyne z podobnosti definic, nevím no.

jarrro · 05. 05. 2010 16:37 — Editoval jarrro (05. 05. 2010 16:41)

$\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=y\nl\frac{1-e^{-2x}}{\1+e^{-2x}}=y\nly+1=\frac{2}{1+e^{-2x}}\nl\frac{2}{y+1}=1+e^{-2x}\nle^{-2x}=\frac{1-y}{1+y}\nl-2x=\ln{\left(\frac{1-y}{1+y}\right)}\nlx=\frac{\ln{\left(\frac{1+y}{1-y}\right)}}{2}\nl\mathrm{argtgh}{\left(x\right)}=\frac{\ln{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}}{2}$

Rumburak · 06. 05. 2010 09:40

↑ RePRO:
Hyperbolické funkce s goniometrickými přece jen souvisejí, jak zjistíme přirozeným rozšířením jejich definičního oboru
na komplexní čísla. Pak pro libovolné komplexní číslo x platí cos x = cosh ix , sin x = - i sinh ix .

Stýv · 06. 05. 2010 10:04

nejsem sice žádnej historik, ale řekl bych, že prvotní definice hyperbolických fcí byla ta, která jim dala jméno, tj. definice pomocí "jednotkový" hyperboly. na ní je taky hezky vidět, odkud pochází ta podobnost s goniometrickýma fcema

RePRO · 06. 05. 2010 16:06

↑ jarrro: Prosím Tě, jak jsi přešel z 2. řádku na 3. řádek? Díky

jarrro · 06. 05. 2010 16:17

↑ RePRO: $1=-1+2$

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2010 07:38 — Editoval RePRO (26. 04. 2010 07:39)

inverzní funkce

#2 26. 04. 2010 09:12

Re: inverzní funkce

#3 05. 05. 2010 15:07

Re: inverzní funkce

#4 05. 05. 2010 15:15 — Editoval Rumburak (05. 05. 2010 15:16)

Re: inverzní funkce

#5 05. 05. 2010 15:34

Re: inverzní funkce

#6 05. 05. 2010 16:37 — Editoval jarrro (05. 05. 2010 16:41)

Re: inverzní funkce

#7 06. 05. 2010 09:40

Re: inverzní funkce

#8 06. 05. 2010 10:04

Re: inverzní funkce

#9 06. 05. 2010 16:06

Re: inverzní funkce

#10 06. 05. 2010 16:17

Re: inverzní funkce

Zápatí