Matematické Fórum

RePRO · 26. 04. 2010 06:57 — Editoval RePRO (26. 04. 2010 08:15)

Ahoj, potřeboval bych pomoci s tímto dvojným integrálem:

$\int_T\int (5x^2 - 2xy) dT$

Určitě bych to řešil pomocí Fubiniovy věty, to není problém. Jediný problém jsou MEZE těch dvou integrálů. Ta celková plocha je označena písmenem T. (platí pro oba integrály)

kaja(z_hajovny) · 26. 04. 2010 07:08

pres jakou mnozinu se integruje?

RePRO · 26. 04. 2010 07:15

↑ kaja(z_hajovny): Vůbec si tu množinu právě nedokáži představit.

kaja(z_hajovny)

Vetsinou byva zadana mnozina a urcuji se meze.

Nekdy byvaji zadane meze, takze se rovnou pouziji. Obrazek vlastne nepotrebuji, jenom treba ze zvedavosti ho nekdy kreslim.

Nejak jsem nepoznal, co byl Vas pripad.

MImochodem - oba zapisy definuji jinou mnozinu, ktery zapis je dobre?

RePRO · 26. 04. 2010 08:18 — Editoval RePRO (26. 04. 2010 08:24)

↑ kaja(z_hajovny): No, mám tam tyhle meze:

$\int(\int (5x^2 - 2xy) dy)dx$

No a meze prvního integrálu: 0 a 2
No a meze druhého integrálu: 0 a 1 - x/2

Ale naprosto nevím postup, jak se přišlo na meze.

Rumburak

↑ RePRO:

Kolega ↑ kaja(z_hajovny): jemně naznačil, že zadání úlohy je neúplné.

Máme-li počítat integrál přes nějakou množinu, pak ta množina musí být zadána KONKRETNĚ,

buďto analytickým vyjádřením , například $T = \{\,[x, y] \in {\mathbb{R}}^2\,;\, x^2 + y^2 \,<\, 4 \,&\, x + y \,<\, 1\,\}$ ,

nebo i slovním popisem, který by v tomto případě byl "T je průnik množin K, P, kde
K je kruh se středem v počátku, jehož poloměr je 2,
P je polorovina obsahující počátek, jejíž hraniční přímka má rovnici x + y = 1 "

a podobně.

Množinu T lze zvolit (bez ohledu na formu zadání) nekonečně mnoha způsoby a teprve pro konkretní případ
je pak možno počítat ten integrál včetně hledání správných mezí pro Fubiniovu větu.
Ten "konkrétní případ" může být mírně paramatrizován, jako například když by poloměr toho kruhu K nebyl
blíže specifikován. Pak by bylo $T = T_r = \{\,[x, y] \in {\mathbb{R}}^2\,;\, x^2 + y^2 \,<\, r^2 \,&\, x + y \,<\, 1\,\}$
a šlo by o úlohu závislou na parametru r, výsledkem výpočtu by nebylo číslo, ale funkce proměnné r.

RePRO · 26. 04. 2010 10:20

↑ Rumburak: Děkuji za objasnění. V zadání je tedy nějaká množina, kde jsou podmínky:

x > 0
y > 0
y <= 1 - x/2

Mohlo by být? (nahoře jsou meze, tak jestli to k tomu sedí). A pokud by bylo možno a pěkně byste mi vysvětlili TY meze, byl bych rád.

Rumburak

↑ RePRO:
Ano, těmito podmínkami
x > 0
y > 0
y <= 1 - x/2
už je určena konkretní množina.

Předpokládejme obvyklou orientaci souřadnicových os, kdy osa x je "vodorovná" a kladná čísla se nacházejí "vpravo" od nuly,
osa y je "svislá" a kladná čísla se nacházejí "nad" nulou.

Rovnicí y = 1 - x/2 je určena přímka - označme ji p.
Nerovnicí y < 1 - x/2 je určena jedna ze dvou otevřených polorovin vyťatých přímkou p, a sice ta z nich, jejíž body leží "pod" přímkou p.

Nerovnicí y > 0 je určena otevřená polorovina tvořená body ležícími "nad" osou x.

Nerovnicí x > 0 je určena otevřená polorovina tvořená body ležícími "vpravo" od osy y.

Množina T je průnikem těchto tří polorovin. Zda k této množině přidáme i její hraniční body, není pro výpočet integrálu podstatné.
Nákresem zjistíme, že jde o pravoúhlý trojúhelník ABC, kde A = [2,0], B = [0, 1] , C = [0, 0].

Fubiniovu větu můžeme aplikovat třaba takto:
x necháme probíhat interval (0, 2) - každý bod trojúhelníka T nutně má x-ovou souřadnici v tomto intervalu, což z obrázku je vidět;
při zvoleném x z tohoto intervalu pak y z dvojice $[x, y] \in T$ bude probíhat interval (0, 1 - x/2 ), což opět zjistíme z náčrtku.

Tím jsou dány pořadí integrací a meze ve vzorci z F. věty:

$\int\int_T ... = \int_0^2 \,\int_0^{1-\frac{x}{2}}... \,\text{d} y \,\text{d} x$

Vnitřní integrace se provede podle y od 0 do 1 - x/2, její výsledek bude funkcí x a tu pak zintegruji podle x od 0 do 2.

Stačí takto ?

Kontrolní otázka: jak by to vypadalo, kdybychom chtěli při intagraci zaměnit pořadí proměnných ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

RePRO · 26. 04. 2010 11:10 — Editoval RePRO (12. 05. 2010 16:39)

↑ Rumburak: Děkuji, přesně toto jsem potřeboval. :-)

Jinak dá se říct, že podle Y to bude od jedné funkci ke druhé, a podle X to jsou klasické meze. Co by se stalo, kdybych prohodil horní a dolní mez?
Respektive: Jak určit, která funkce bude jako horní mez, a která jako dolní?

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2010 06:57 — Editoval RePRO (26. 04. 2010 08:15)

dvojný integrál

#2 26. 04. 2010 07:08

Re: dvojný integrál

#3 26. 04. 2010 07:15

Re: dvojný integrál

#4 26. 04. 2010 07:57 — Editoval kaja(z_hajovny) (26. 04. 2010 08:03)

Re: dvojný integrál

#5 26. 04. 2010 08:18 — Editoval RePRO (26. 04. 2010 08:24)

Re: dvojný integrál

#6 26. 04. 2010 09:39 — Editoval Rumburak (26. 04. 2010 09:59)

Re: dvojný integrál

#7 26. 04. 2010 10:20

Re: dvojný integrál

#8 26. 04. 2010 10:56 — Editoval Rumburak (26. 04. 2010 11:26)

Re: dvojný integrál

#9 26. 04. 2010 11:10 — Editoval RePRO (12. 05. 2010 16:39)

Re: dvojný integrál

Zápatí