Matematické Fórum

bublina · 29. 11. 2008 19:12

Zdravím, chtěla jsem se jen zeptat, zda si tady někdo tyká s topologií a moh by mi s ní trochu pomoct. Tak třeba nemohu se dostat k výsledku u tohoto : v topologickém prostoru R s přirozenou topologií je dán interval (-1,4]. Určete bázhi topologie na (-1;4]. Předem děkuji již za jakoukoliv úvahu.

Kondr · 03. 12. 2008 03:33

O topologii nic nevím, ale snad pomůže odkaz: http://homepages.math.slu.cz/MichalMale … ogieRn.pdf
Tam se píše o otevřených koulích, v našem případě k nim možná budeme muset přidat množinu {4}.

evik · 26. 04. 2010 19:53

Řeším stejný příklad a odkaz mi nepomohl..., prosím poradíte více?

Rumburak

Definice báze topologického prostoru je zde:
http://cs.wikipedia.org/wiki/B%C3%A1ze_ … o_prostoru

Bází top. prostoru (pokud nejde o nějaký zvláště jednoduchý případ) může být nekononečně mnoho.

Triviálním příkladem báze libovolného topologickéhpo prostoru je podle uvedené definice souhrn všech množin, které jsou
otevřenými množinami tohoto prostoru.

Netriviální bází topologického prostoru (-1,4] je například množina B, která obsahuje
(A) všechny otevřevné intervaly (a,b) s racionálními krajními body a, b, kde -1 < a <= b < 4 (volba a = b dá prázdnou množinu),
(B) všechny intervaly tvaru (c, 4] , kde c probíhá všechna racionální čísla intervalu (-1, 4) - pravá závorka je vskutku kulatá -
touto podmínkou zajistíme, aby intervaly tvaru (d, 4] pro -1 <= d < 4 byly množinami otevřenými v (-1,4] .

(Klidně bychom mohli přidat podmínku, že žádný z inetrvalů v (A), (B) nesmí mít délku větší než (1 / 1000000) a pod. )

Takto definovaná báze má tu vlastnost, že je spočetná , což je v souladu s tvrzením, že prostor (-1,4] je Lindeloefův.

evik · 27. 04. 2010 14:13

...
(A) chápu
(B) nechápu :(
jak může být (c,4] otevřená množina v přirozené topologii? není mi to zcela jasné. A proč racionálními krajními body a ne třeba reálné? A ještě co znamená spočetná báze... :(

Rumburak

↑ evik:

Interval (c,4] není otevřenou množinou v R, avšak JE otevřenou množinou v (-1 , 4], a to podle definice relativní topologie na podprostoru.
Konkretnně pro R, (-1 , 4] tato definice zní :

Množina G (část (-1 , 4] ) je otevřená v (-1 , 4] právě tehdy, když existuje množina H otevřená v R, pro niž G = H průnik (-1 , 4].

Je-li tedy G = (c , 4] , kde -1 <= c < 4 , pak podmínka G = H průnik (-1 , 4] je splněna např. volbou H = (c, 5) , což je množina otevřená v R,
takže G je otevřená v (-1 , 4].

K dalšímu dotazu:
Spočetná množina je taková, jejíž mohutnost je rovna mohutnosti množiny přirozených čísel (jinak řečeno: jejíž všechny prvky lze seřadit
do prosté posloupnosti). V topol. prostoru T se spočetnou bází plati:

Je-li $S =\{G_{\lambda}\,; \,\lambda \in \Lambda\}$ systém množin otevřených v T, pro něž $\Bigcup_{\lambda \in \Lambda} G_{\lambda} = T$ ,
potom existuje posloupnost $(H_{n} \in S \, ; \,n \in \mathb{R} )$ taková , že $\Bigcup_{n = 1}^{\infty} H_{n} = T$ .
(Stručně řečeno: z libovolného otevřeného pokrytí prostoru T lze vybrat spo4etné pokrytí prostoru T.)
Tato vlastnost některých topologických prostorů má určitý teoretický význam.

Ještě jeden dotaz tam byl : "proč s racionálními krajními body a ne reálnými": proto, aby báze byla spočetná a tedy teoreticky zajímavější
než nespočetná báze, která by vznikla bez podmínky na racionalitu krajních bodů.

Matematické Fórum

#1 29. 11. 2008 19:12

Topologie

#2 03. 12. 2008 03:33

Re: Topologie

#3 26. 04. 2010 19:53

Re: Topologie

#4 27. 04. 2010 11:25 — Editoval Rumburak (27. 04. 2010 16:49)

Re: Topologie

#5 27. 04. 2010 14:13

Re: Topologie

#6 27. 04. 2010 16:49 — Editoval Rumburak (27. 04. 2010 17:03)

Re: Topologie

Zápatí