Matematické Fórum

novaccek · 26. 04. 2010 22:30

Žádám o nástin řešení:
1)
Každý bod čtverce o straně 10 cm je obarven právě jednou ze dvou barev. Dokažte, že existují ve čtverci tři body které jsou vrcholy trojúhelníka o obsahu aspoň 25 cm2 a které mají stejnou barvu.

2)
V rovině je dáno 50 bodů, z nichž žádné tři neleží na přímce. Dokažte, že trojúhelníky určené trojicemi daných bodů mají aspoň 200 vnitřních úhlů menších než 8 stupňů

Kondr · 27. 04. 2010 07:59

1) uvážíme vrcholy a středy stran; z těchto osmi bodů mají 4 stejnou barvu a 3 z těchto 4 neleží na přímce. Dál je to snadné.

2) bod P (jeden z daných) spojíme se všemi ostatními, rovina se rozpadne na 50 úhlů. Kdyby bylo 47 z nich alespoň rovných 8 stupňům, byl by jejich součet větší než 360° (rozmyslíme, že to funguje i když je jeden z úhlů větší než 180°). Proto je jsou vždy alespoň 4 z nich menší než 8°. Možných bodů P je 50.

ReisRyos

Ta 1 mě docela zaujala.
Myslíte tedy, že stačí najít jenom jeden trojúhelník, který to splňuje?

Například:

$S=\frac{10*5}{2}=25 cm^2$

Kondr · 27. 04. 2010 12:04

↑ ReisRyos: Určitě nestačí -- máme dokázat, že to bude fungovat pro libovolné obarvení. Je proto potřeba rozebrat více konfigurací. Došlo mi, že elegantnější bude použít analogickou úvahu, ale místto středů stran brát střed čtverce. Pak máme bodů 5, 3 mají stejnou barvu, trojúhelník, který určují může být pouze dvou tvarů ...

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2010 22:30

Dirichletův princip

#2 27. 04. 2010 07:59

Re: Dirichletův princip

#3 27. 04. 2010 08:52 — Editoval ReisRyos (27. 04. 2010 08:52)

Re: Dirichletův princip

#4 27. 04. 2010 12:04

Re: Dirichletův princip

Zápatí