Matematické Fórum

Křivka o rovnici

(1)           r = 1 - cos t 

v polárních souřadnicích r, t   je jakási kardioida (zkus si udělat aspoň hrubý náčrtek).

Vyjádříme ji parametricky

(2)           x = r cos t   ,     y = r sin t  ,    0  <=  t  < 2 pí ,     EDIT :   zároveň též  r = r(t)  dle (1) .


Z (1) a (2) pak obdržíme ,  sem dosadíme   
a obdržíme rovnici křivky v neparametrickém tvaru

                  .

Dále standardní postup. Ale nevylučuji možnost, že někdo příjde s lepším řešením.

↑ joukie:

joukie napsal(a):

...  popravde sem takovyhle priklad nikdy nepocital.....

Tak to jsme už dva :-)  - mám tím na mysli případ, kdy je křivka zadána rovnicí v polárních souřadnicích.

Od popisu hraniční křivky je nyní potřeba dospět k popisu množiny, přes kterou se bude integrovat.

Jestliže křivka  o rovnici  g(u, v) = 0   (ať již v jakémkoliv vhodném souřadnicovém systému) roztíná rovinu na dvě otevřené oblasti A, B,
jimž je zároveň společnou  hraniční křivkou,  pak jedna z těchto oblastí bude popsána nerovnicí  g(u, v) < 0 , ta druhá pak nerovnicí g(u, v) > 0 .
Abychom přiřadili správnou nerovnici ke správné oblasti, vytipujeme si vhodný bod, o němž s jitotou víme, ve které oblasti leží,
a dosazením vyzkoušíme, která z obou nerovnic mu vyhovuje - ta pak bude nerovnicí příslušné oblasti (a zbývající nerovnice nerovnicí
zbývající oblasti).

K naší kardioidě:
Nechř A je ta z obou oblastí vyťatých křivkou, okolo níž křivka "obíhá", B naopak ta oblast , která křivku "obklopuje zvenčí".
Z rovnice křivky v kartéských souřadnicích

(3)                 

snadno zjistíme, že osa x (tj. přímka o rovnici y = 0) ji protíná v bodech  C[-2, 0], D[0,0]  a v žádných dalších. Z náčrtku pak usoudíme,
že bod E[-1, 0] ležící na úsečce CD, patří do oblasti A. Dosazením souřadnic bodu E do rovnice  (3)  obdržíme  nerovnost  1  < 2 .   
Určující nerovnicí pro oblast A (která nás zajímá pro výpočet integrálu) je tedy nerovnice

(4)                 

Máme tedy dánu oblast A určenou nerovnicí (4) a úkolem je vypočítat dvojný (neboli dvojrozměrný) integrál

.

Výpočet dvojného integrálu se nejčastěji provádí převodem na integrály jednorozměrné  - o tom pojednává Fubiniova věta vyložena zde:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Fubiniova_v%C4%9Bta.

Před tímto krokem bývá v zájmu zjednodušení dalších výpočtu výhodné  (ba často i nezbytné) převést dvojný integrál do vhodnějších souřadnic
(což bude i náš případ -  přejdeme zpět k polárním souřadnicím, v nichž oblast A má jednodušší popis, a sice   r < 1 - cos t ), 
k čemuž slouží  věta o substituci pro dvojný (obecně pro vícerozměrný) integrál.  Hledej na webu heslo "integrální počet funkcí více proměnných" ,
kde je toho spousta, stačí si vybrat .

Kdybys po prostudování doporučených materiálů něčemu z toho ještě nerozuměl,  dej sem dotaz.


EDIT. V názvu tématu se hovoří o integrálu na uzavřené množině, což bude v našem případě množina popsaná nerovností

                                          .

Postup výpočtu i výsledek bude stejný jako v předchozím případě, neboť křivka, která je zde hranicí integračního oboru, má dvourozměrnou
Lebesgueovu míru 0 a proto existence ani hodnota dvojného integrálu nezávisí na tom, zda hranici do integračního oboru zahrneme nebo ne.