Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 27. 04. 2010 17:36

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2512
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   67 
 

Součet třetích mocnin (snadnější úloha)

Dokažte, že součet tří bezprostředně po sobě jdoucích třetích mocnin přirozených čísel je vždy dělitelný 9, tj. že platí

$ \quad\reverse\Large\forall n\in\mathbb{N}\quad\exists k\in\mathbb{N}:\qquad n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=9k.\qquad\nl  $

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Marian)

#2 27. 04. 2010 18:54

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1828
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Součet třetích mocnin (snadnější úloha)

↑ Marian:


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#3 28. 04. 2010 07:50

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2512
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   67 
 

Re: Součet třetích mocnin (snadnější úloha)

↑ Pavel:

Ano, je to tak.

Úloha je snadná. Snad bude někomu sloužit jako lehká rozcvička k náročnějším úlohám.

Offline

 

#4 28. 04. 2010 18:53

jarrro
Příspěvky: 5406
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Součet třetích mocnin (snadnější úloha)


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 29. 04. 2010 13:28

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2512
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   67 
 

Re: Součet třetích mocnin (snadnější úloha)

↑ jarrro:
Jistě, i toto je možnost řešení.

Offline

 

#6 29. 04. 2010 15:57

petrkovar
Veterán
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 995
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Součet třetích mocnin (snadnější úloha)

↑ Marian:Elegantní je také použít substituci  $t=n+1$. Potom máme součet třetích mocnin $(t-1)^3+t^3+(t+1)^3$. Usnadní to úpravy v obou navrhovaných postupech.

Offline

 

#7 29. 04. 2010 19:10

check_drummer
Příspěvky: 3557
Reputace:   91 
 

Re: Součet třetích mocnin (snadnější úloha)

Téma je sice uzavřené, přesto přispěju. :-)
Dokažme obecnější tvrzení:
pro všechna a,b,c přirozená je následující výraz dělitelný 9:
$(3a)^3+(3b+1)^3+(3c+2)^3$
To je ale zřejmé, protože $1^3+2^3=9$.
Teď už stačí jen použít fakt, že z čísel n, n+1, n+2 dávají tato čísla zbytek 0, 1, 2 po dělení 3 (ne nutně v tomto pořadí).


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#8 29. 04. 2010 20:45

Kondr
Veterán
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
 

Re: Součet třetích mocnin (snadnější úloha)

Celkem není těžké to zobecnit:

Pro která $p\in\mathbb{N}$ platí
$\forall n\in\mathbb{N}: n^p+\ldots+(n+p-1)^p\equiv 0\pmod{p^2}$ ?

Co nemám rozmyšlené je, jak by to dopadlo s dělitelností $p^k$ pro $k>2$.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#9 29. 04. 2010 22:40

petrkovar
Veterán
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 995
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Součet třetích mocnin (snadnější úloha)

↑ Kondr:Já myslím, že $p$ by mělo být liché číslo. Jinak evidentně pro $p \equiv 2 \pmod{4}$ je součet mocnin liché číslo a nemůže být dělitelné (sudým) $p$.
Pomoci by mohlo, že když počítáme modulo $p$, tak $n+1$ a $n+p-1$ dávají zbytek $1$, resp. $-1$, po dělení číslem $p$.

Offline

 

#10 29. 04. 2010 23:35

Kondr
Veterán
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
 

Re: Součet třetích mocnin (snadnější úloha)

↑ petrkovar:


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson