Matematické Fórum

byXick · 02. 05. 2010 13:25

Ahoj, potřeboval bych poradit s úlohou, kterou máme vyřešit za doma. Úloha zní: Vypočtěte obvod a obsah pravidelného desetiúhelníku vepsaného do kružnice o poloměru 13 cm. Vůbec nevím, jak na to, tak prosím poraďte.

byk7 · 02. 05. 2010 13:54 — Editoval byk7 (02. 05. 2010 14:18)

takže
$S=5\cdot r^2\cdot\sin(36^\circ)=5\cdot {13}^2\cdot\sin(36^\circ)\dot{=}497\mathrm{cm^2}$
$o=10\cdot a \nl \sin(18^\circ)=\frac{\frac{a}{2}}{13}\Rightarrow a=$26\cdot\sin(18^\circ)$\mathrm{cm} \nl o=10\cdot$26\cdot\sin(18^\circ)$=$260\cdot\sin(18^\circ)$\mathrm{cm^2}\dot{=}80\mathrm{cm}$

byXick · 02. 05. 2010 13:58

↑ byk7:
Diky za vyřešení, podle výsledků v učebnici je to správně, takže dik i když zcela nechapu jak jsi na to přišel, ale to je v celku jedno :D

Chrpa · 02. 05. 2010 14:11

byXick napsal(a):
↑ byk7:
Diky za vyřešení, podle výsledků v učebnici je to správně, takže dik i když zcela nechapu jak jsi na to přišel, ale to je v celku jedno :D

To právě jedno není.
Pokud tomu nerozumíš (jak k tomu odpovídající přišel) potom jenom výsledek je k ničemu.

byXick · 02. 05. 2010 14:11

↑ byk7:
ale nechapu, jak jsi to počital, protože když naklikám na kalkulačku toto: $S=5\cdot r^2\cdot\sin$\frac{\pi}{5}$=5\cdot {13}^2\cdot\sin$\frac{\pi}{5}$\dot{=}497\mathrm{cm^2}$ , takmi 497 cm2 nevyjde, ale vyjde 9,266276183...

byk7 · 02. 05. 2010 14:12 — Editoval byk7 (02. 05. 2010 14:15)

znáš radiány?

Jinak ve stupních bys to zapsal jako: $S=5\cdot r^2\cdot\sin(36^\circ)=5\cdot {13}^2\cdot\sin(36^\circ)\dot{=}497\mathrm{cm^2}$

byXick · 02. 05. 2010 14:14

↑ Chrpa:
ne, ale jak jsem uviděl ten strašný výpočet, tak jsem asi pochopil, že se to takto počítá někde na vysoké a že my na základce tak daleko nejsme, tak se radši zeptám učitele a ten to vysvětlí jednodušeji :D

byXick · 02. 05. 2010 14:15

↑ byk7:
radiány vůbec neznám, jelikož se nacházím stále na základní škole :D

byXick · 02. 05. 2010 14:18

↑ byk7:
a jo tak když to vidim ve stupnich, tak mi to je hned jasny, diky za objasneni, ted uz to chapu

Chrpa · 02. 05. 2010 14:48 — Editoval Chrpa (02. 05. 2010 16:13)

↑ byXick:
Nakresli si kružnici a do ní 10-úhelník
Spojnice středu kružnice a vrcholů ti rozdělí
desetiúhelník na 10 rovnoramenných trojúhelníků
Ty z toho 1 trojúhelníku znáš délku těch ramen = poloměr kružnice = 13 cm
Úhel, který svírají ramena 1 trojúhelníku je:
$\alpha=\frac{360}{10}=36^\circ$

V jednom trojúhelníku znáš tedy 2 strany a úhel jimi sevřený.
Pro obsah takového trojúhelníku platí:
$S=\frac{a\cdot b}{2}\cdot sin\,\alpha$
V našem případě:
$a=13\nlb=13\nl\alpha=36^\circ$
Obsah trojúhelníku je:
$S=\frac{13^2}{2}\cdot\sin\,36^\circ$
Takových trojúhelníků tam je deset tedy obsah 10-ti úhelníku bude:
$S=\frac{10\cdot 13^2}{2}\cdot\sin\,36^\circ=5\cdot 169\cdot\sin\,36^\circ$
Kdybychom to zobecnili:
Zadáno:
Poloměr kružnice opsané pravidelnému n-úhelníku.
Vypočítat:
a) obsah
b) obvod
a) $S=\frac{n\cdot r^2\cdot\sin\left(\frac{360}{n}\right)}{2}$
b) $o=2n\cdot r\cdot\sin\left(\frac{180}{n}\right)$