Matematické Fórum

888 · 02. 05. 2010 10:20

Určete obsah vrchlíku příslušného k středovému úhlu A=120° , je-li poloměr kruhové strany s=10cm.

Tady bych potřeboval trochu nakopnout, není mi jasný, jak bude těleso vůbec vypadat. Díky

frank_horrigan

↑ 888:

Ok, asi myslis kruhovou úseč, termín vrchlík (aspon myslim) se používá u koule. Tak fajn. Budes mít rovnoramenný trojúhelník, který u vrcholu tvoreného stredem je 120°. Zbylé dva tedy budou mít 30 každý z nich. Spočítej trojúhelník, hlavně tě zajímá délka té tětivy a vzdálenost od středu (výška toho trojúhelníku). Najdu ti vzorec na výpočet S kruhové úseče :)

EDIT: možná na to jdu moc slozite, mám tady vzorce: $http://upload.wikimedia.org/math/a/a/6/aa651c5cdf885e51ee3944deff0c2d47.png$ , kde $http://upload.wikimedia.org/math/8/7/e/87e885cd739b85a46e7e7e33d8e15068.png$

888 · 02. 05. 2010 10:29

Zadaní jsem měl takové, jaké píšu. U koule by to nešlo spočítat?

frank_horrigan

↑ 888:

Jasně že šlo :) - pak nepočítáš ale obsah, nýbrž povrch.. :) aaaah, nekdy ty zadání jsou opravdu hrozná :). V tom případe trochu jinak: moment, najdu vzorce :)
Obsah (povrch) vrchlíku dle tohoto vzorce, kde r je poloměr koule a v výška toho vrchlíku. Tak i tak bych to řešil pres trojúhelník a středový úhel, jinak tu výsku dostat asi nejde :)

EDIT: ted mně napadá (jenom myslenka): mas úhel a délku toho řezu, kdyz povedu kolmou osu, dostanu: polovinu středového úhlu, pravý uhel na řezu a poloměr toho řezu. Z toho by si měl měl dostat vzdálenost řezu od středu

888 · 02. 05. 2010 10:41

a $s=r$ tady ?

frank_horrigan

↑ 888:

Nee, polomerem kruhové podstavy je mysleno polomer podstavy toho vrchlíku -> polovina délky toho řezu....

Omluva za zmatečnost, vymyslim to reseni za pochodu :)

EDIT: ted vymýšlím jakým způsobem dostat poloměr celé koule -> tedy výšku toho vrchlíku

EDIT2: myslenka: zkusim to pres kulovou výseč

Tenhle vzorec, z toho by melo jit vyjádřit r: $http://upload.wikimedia.org/math/1/0/6/106b7d63e7a7df4d758f237747e28ff8.png$

Takze, vyska té úseče mi vychází 5/ sqrt3, z toho poloměr koule 65/ 2*sqrt(3). - z toho bys měl vypočítat obsah toho vrchlíku. Vubec si tím výsledkem nejsem jisty (na to, jak jsem se na nej nadřel) - zkus to dosadit a zkontrolovat :) Jestli je to blbe, zkusim vymyslet neco jinyho

888 · 02. 05. 2010 16:33

Trochu jsem se ztratil v tom, jak ses tu rozepsal, takže nevím co počítat.

Každopádně výsledek $400\frac\pi3$

frank_horrigan · 02. 05. 2010 16:45

↑ 888:

Mne vychází $\frac{325\pi}{3}$ ...Z toho vyplývá, že myšlenka bude pravedpodobně správná, ale někde jsem nechal numerickou chybu. Zkusím shrnout postup a dobrat se Tvého výsledku :)

frank_horrigan

Takze: máš poloměr podstavy vrchliku (1/2 délky řezu ) , a středový uhel. Od stredu veď vertikálu, dostaneš pravoúhly trojúhelník s uhly 90,60,30. Máš i ten poloměr, coz je jedna z odvěsen. Spočítej druhou z odvesen (to bude výška výseče). Ze vzorce $http://upload.wikimedia.org/math/1/0/6/106b7d63e7a7df4d758f237747e28ff8.png$ , kde ró je poloměr podstavy toho vrchlíku, v je výška výseče (ta odvesna) a r je poloměr koule, si vyjádříš r, tím dostaneš poloměr celé koule, který budeš potřebovat pro ten vrchlík. Povrch (obsah) vrchlíku jde podle vzorce Q = 2pí*r*v , kde r je polomer koule a v výška toho vrchlíku (poloměr koule - "ta odvěsna"). To by měl byt obecny postup, skusím tomu dát opravdová čísla :)

Chrpa · 02. 05. 2010 17:06 — Editoval Chrpa (02. 05. 2010 17:06)

↑ 888:
Aby to vyšlo dle výsledku pak by se měl
počítat obsah kruhové výseče dle obrázku:

Platí:
$\cos\,60^\circ=\frac{10}{r}\nlr=\frac{10}{\cos\,60^\circ}\nlr=\frac{10}{\frac 12}\nlr=20$

Pro obsah kruhové výseče platí:
$S=\frac{\pi\cdot r^2\cdot\alpha}{360}\nlS=\frac{20^2\,\pi\cdot 120}{360}\nlS=\frac{400\,\pi}{3}$

888 · 02. 05. 2010 17:09

↑ Chrpa:]
Ok. Dik, to vypada asi na chybu v zadani

Matematické Fórum

#1 02. 05. 2010 10:20

Obsah vrchliku

#2 02. 05. 2010 10:27 — Editoval frank_horrigan (02. 05. 2010 10:31)

Re: Obsah vrchliku

#3 02. 05. 2010 10:29

Re: Obsah vrchliku

#4 02. 05. 2010 10:32 — Editoval frank_horrigan (02. 05. 2010 10:44)

Re: Obsah vrchliku

#5 02. 05. 2010 10:41

Re: Obsah vrchliku

#6 02. 05. 2010 10:46 — Editoval frank_horrigan (02. 05. 2010 11:37)

Re: Obsah vrchliku

#7 02. 05. 2010 16:33

Re: Obsah vrchliku

#8 02. 05. 2010 16:45

Re: Obsah vrchliku

#9 02. 05. 2010 16:58 — Editoval frank_horrigan (02. 05. 2010 17:11)

Re: Obsah vrchliku

#10 02. 05. 2010 17:06 — Editoval Chrpa (02. 05. 2010 17:06)

Re: Obsah vrchliku

#11 02. 05. 2010 17:09

Re: Obsah vrchliku

Zápatí