Matematické Fórum

boban · 02. 05. 2010 15:09

mám za úkol spočítat: Najděte pravoúhelník, který má při daném obvodu nejkratší úhlopříčku.
Nevím si s tím rady, tak prosím o pomoc....

Tychi · 02. 05. 2010 17:42 — Editoval Tychi (02. 05. 2010 19:29)

↑ FailED:pravoúhlý trojúhelník nemá úhlopříčku a není to pravoúhelník..
pravoúhelník je čtverec a obdélník(o:

tedy
$o=2a+2b$
$a^2+b^2=u^2$

z toho $u^2=a^2+$\frac{o-2a}{2b}$^2$
a dál $u=..$
zderivuješ, položíš rovno nule, vyřešíš tedy rovnici $u'=0$ , dostaneš $a=..$ . Dopočteš b.

EDIT: doplněno mocnítko, chyby děláme všichni, hlavně, že je společně všechny vyeliminujeme(o:

FailED · 02. 05. 2010 17:52 — Editoval FailED (02. 05. 2010 18:42)

↑ Tychi:
Dobře dobře, to mně nenapadlo :). Smazáno.
Máš tam překlep, má tam být $u^2=a^2+$\frac{o-2a}{2}$^2$

↑ boban:
Radši napíšu celé řešení:
$o=2a+2b$
$u=\sqrt{a^2+b^2}$
z první vyjádříme b a dosadíme do druhé:
$u=\sqrt{a^2+$\frac{o-2a}{2}$^2}$ , upravíme, zderivujeme podle a a položíme rovno 0:
$0=\frac{4a-o}{2\sqrt{\frac14 (o-2a)^2+a^2}}$ a z toho
$a=\frac{o}{4}$

Nebo jinak - nejdřív zderivujeme obě funkce podle a a pak dosadíme,
$0=2+2b' \quad \Rightarrow \quad b'=-1$
$u'=\frac{a+bb'}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , dosadíme a položíme rovno 0:
$0=\frac{a-b}{\sqrt{a^2+b^2}}\quad\Rightarrow\quad a=b$

Našli jsme, kde je derivace nulová, zkontrolujeme meze - když jde a k 0 i k polovině obvodu tak jde délka úhlopříčky k polovině obvodu, naše úhlopříčka je kratší - máme hledané minimum.

Matematické Fórum

#1 02. 05. 2010 15:09

funkce

#2 02. 05. 2010 17:42 — Editoval Tychi (02. 05. 2010 19:29)

Re: funkce

#3 02. 05. 2010 17:52 — Editoval FailED (02. 05. 2010 18:42)

Re: funkce

Zápatí