Matematické Fórum

anomis026 · 03. 05. 2010 12:49

PORADTE JAK NA TO :-(((( , prosiiiim

1.) napište osovou a obecnou rovnici hyperboly, ktera ma ohniska E:[0,1] a F [4,1] a prochazi bodem L: [4,4]
2.) urctete vzajemnou polohu primky a kruznice p: x+y-1=0 ; H: x^2+y^2+6x+6y-7=0
3.) pro ktera q je primka p:x-y+q=0 tecnou k elipse E: 9x^2+16y^2-144=0
4.) napiste rovnici tecny k parabole x^2+4x-6x+3=0, ktera je rovnobezna s primkou p: x-y=0

Cheop · 03. 05. 2010 14:22

↑ anomis026:
4)
Předpokládám, že rovnice paraboly je: $x^2+4x-6y+3=0$
Rovnice přímky rovnoběžná s přímkou: $x-y=0$ bude mít tvar:
$x-y+c=0\nly=x+c$ dosadáme do rovnice paraboly
$x^2+4x-6(x+c)+3=0\nlx^2-2x-6c+3=0$ aby to byla tečna pak diskriminant této kvadratické rovnice D = 0 (přímka a parabola budou mít jeden společný bod)
$4+24c-12=0\nl24c=8\nlc=\frac 13$
Rovnice tečny:
$x-y+\frac 13=0\nl3x-3y+1=0$

Rumburak

Ad 1. Jsou-li dána ohniska, není těžké určit střed a směr hlavní osy.
Máme-li střed a směr hlavní osy, není těžké napsat osovou rovnici s neznámými hodnotami poloos a, b .
Do této rovnice dosadíme bod, který na hyperbole leží, a dostaneme rovnici o dvou neznámých a, b.
Aby byla hyperbola určena jednoznačně, potřebujeme ještě nějakou další podmmínku.

Ad 2. Vyřešíme tu soustavu rovnic, něco nám vyjde (a nebo zjistíme, že soustava je v reálném oboru neřešitelná)
a z toho, co jsme se o soustavě dověděli, usoudíme na vzájemnou polohu.

Ad 3. Jde o soustavu rovnic závislou na parametru q - ta vede eliminací některé neznámé na kvadratickou rovnici.
Hodnotu parametru q volíme tak, aby takto vzniklá kvadr. rovnice měla dvojnásobný reálný kořen.

Ad 4. Hledaná tečna bude mít rovnici x - y + q = 0 (aby byla rovn. s přímkou p: x-y=0 ) a dále postupujeme obdobně jako v úloze 3.

Cheop · 03. 05. 2010 14:30 — Editoval Cheop (03. 05. 2010 17:36)

↑ anomis026:
3)
Přímka:
$x-y+q=0\nlx=y-q$ - dosadím do elipsy
Rovnice elipsy:
$9x^2+16y^2-144=0\nl9(y^2-2yq+q^2)+16y^2-144=0\nl25y^2-18yq+9q^2-144=0$ - D = 0(tečna)
$324q^2-900q^2+14400=0\nl576q^2=14400\nlq^2=25\nlq=\pm 5$
Rovnice přímky:
$x-y+5=0\nlx-y-5=0$

Cheop · 03. 05. 2010 15:35 — Editoval Cheop (03. 05. 2010 15:36)

↑ anomis026:
2)
$x+y-1=0\nlx=1-y$ - dosadím do rovnice kružnce:
$x^2+y^2+6x+6y-7=0\nl1-2y+y^2+y^2+6-6y+6y-7=0\nl2y^2-2y=0\nly(y-1)=0\nly_1=0\nly_2=1$
Dopočítám x
$x=1-y\nlx_1=1\nlx_2=0$
Přímka a kružnice mají 2 společné body:
$P_1(1;\,0)\nlP_2(0;\,1)$ z toho plyne, že přímka je sečnou kružnice.

anomis026 · 03. 05. 2010 15:48

diiky moc. :-)

anomis026 · 03. 05. 2010 16:17

↑ Cheop:
a prosimte jak mam udelat D=0 z takove dlouhe rovnice? my se dycky ucili jen ax+by+c=0 ... ale tady mas x^2-2x-6c+3=0 tak jak se tam ty cleny dosazujou? :-(((

anomis026 · 03. 05. 2010 16:59

$324y^2-900q^2+14400=0\nl576y^2=14400\nlq^2=25\nlq=\pm 5$ jak se dostane tohle???? :-(((

Chrpa · 03. 05. 2010 17:33 — Editoval Chrpa (03. 05. 2010 17:33)

↑ anomis026:
Promiň má být:
$324q^2-900q^2+14400=0\nl576q^2=14400\nlq^2=25\nlq=\pm 5$ já se upsal.

anomis026 · 03. 05. 2010 17:42

Chrpa napsal(a):
↑ anomis026:
Promiň má být:
$324q^2-900q^2+14400=0\nl576q^2=14400\nlq^2=25\nlq=\pm 5$ já se upsal.

ahaa. diiky .. ja jsem jen nevedela, jak z toho mam udelat ten diskriminant..

anomis026 · 03. 05. 2010 18:46

↑ anomis026:

jo, ale u toho prvniho fakt nevim jak zjistim, kam je otocena a jakej vzorecek pouziju :-(

anomis026 · 03. 05. 2010 18:51

↑ Rumburak:
jak ten prvni?

Rumburak

↑ anomis026:
Připomeňme si zadání:
Napište osovou a obecnou rovnici hyperboly, která má ohniska E:[0,1] a F [4,1] a procházi bodem L: [4,4]

Střed S úsečky EF, kfe E, F jsou ohniska, je zároveň středem hyperboly, tedy $S = [2 , 1 ]$ .
Excentricita hyperboly (vzdálenost ohniska od středu) pak bude $e = 2$ .

Označme $a$ délku hlavní a $b$ délku vedlejší polooy. Pro hyperbolu tato čísla splňují rovnici

(1) $a^2 \,+\, b^2 \,=\, e^2 \,=\, 4$ .

Hlavní osa (na níž leží ohniska) je rovnoběžná s osou y, osový tvar rovnice takové hyperboly (obecně se středem S:[m, n] ) je
(2) $$\frac{x-m}{b}$^2 \,-\, $\frac{y-n}{a}$^2 \,=\, -1$ ,
v našem případě tedy
$$\frac{x-2}{b}$^2 \,-\, $\frac{y-1}{a}$^2 \,=\, -1$ ,

do poslední rovnice dosadíme souřadnice bodu L: [4,4] ležícího na hyperbole a obdržíme

(3) $$\frac{4-2}{b}$^2 \,-\, $\frac{4-1}{a}$^2 \,=\, -1$ .

Ze soustavy (1), (3) pak vypočítáme kladná čísla a, b. ( Beru zpět svoji původní domněnku, že hyperbola není určena jednoznačně.)

Obecnou rovnici hyperboly v osové poloze (osy hyp. jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami) získáme tak, že osovou rovnici (2)
upravíme do tvaru $Ax^2 \,-\, By^2 \,+\, Cx \,+Dy \,+\, E = 0$ .

EDIT. Bohužel jsem minimálně v jednom místě popletl souřadnicové osy, takže je to špatně.

Cheop · 04. 05. 2010 14:40 — Editoval Cheop (04. 05. 2010 16:12)

↑ Rumburak:
Myslím, že toto nevede ke správnému řešení.
Když to upravím, tak sice bude hyperbola procházet bodem (4; 4), ale nebude mít požadovaná ohniska.
Moje řešení (doufám, že vyhovuje zadání)
Střed hyperboly je S(2; 1) excentricita e = 2 (stejně jako Ty)
Rovnice
$\frac{(x-2)^2}{a^2}-\frac{(y-1)^2}{b^2}=1$ - po dosazení bodu (4; 4) a po vyjádření: $a^2+b^2=4\nla^2=4-b^2$ dostaneme:
$\frac{4}{4-b^2}-\frac{9}{b^2}=1$ - úpravou:
$b^4+9b^2-36=0$ substituce: $b^2=z$
$z^2+9z-36=0\nlz_1=3\nlz_2=-12$
$b^2=3\nla^2=4-3\nla^2=1$
Rovnice hyperboly
$\frac{(x-2)^2}{1}-\frac{(y-1)^2}{3}=1\nl3x^2-y^2-12x+2y+8=0$
Obrázek: