Matematické Fórum

marekjanu · 05. 05. 2010 16:03

Ahoj, prosím o pomoc s následujícími třemi příklady. Pokoušel jsem se je rozpočítat. Nevím, jestli postupuji správně. Řekl bych, že ten první a třetí příklad je křivkový integrál holomorfní funkce, takže mohu použít pravidlo, že nezáleží na integrační cestě, ale pouze na koncových bodech. U toho druhého příkladu mi vychází, že pi/2 je singulární bod a integrál tedy mohu spočítat jako sumu reziduí v singulárních bodech v dané oblasti (kružnice o poloměru 2 v bodě [1,j]). Druhý příklad nemám dokončený - nevím, jak spočítat to reziduum. První a třetí příklad by měl být spočítán celý, nevím, však jestli to mám správně.

marekjanu · 06. 05. 2010 18:42

Nikdo nepomůže?

jelena · 06. 05. 2010 20:12 — Editoval jelena (07. 05. 2010 21:37)

↑ marekjanu:

Zdravím,

EDIT - 1, 3 se musí editovat, není to dobře.
-------------------------------------------------------------

1) mi vychází stejně,

3) úplně na závěr mám +1.

---------------------------------------------------------------
]EDIT

zcela jsem vynechala, že nejsou zadané meze pro z, ale pro t, proto bylo potřeba těchto úprav:

2)
$z=sin(t)+jcos(t)=e^{jt}, dz=je^{jt}dt$

integrujeme $\int $\sin (e^{jt})+\cos (e^{jt})$^2je^{jt}dt=\int $1+\sin (2e^{jt})$je^{jt}dt$

substituce $2e^{jt}=u$ , $2je^{jt}dt=du$

$\int \frac{1+sin(u)}{2}du=\frac{1}{2}(2e^{jt}-cos2e^{jt})$

po dosazení mezi:

$\frac{1}{2}$(2e^{j\pi}-cos2e^{j\pi})-(2-cos2e^{0})$=\frac{1}{2}(-2-cos2-2+cos2)=-2$

====================================
1)

$\int ze^zdz=-\int je^{jt}e^{je^{jt}}e^{jt}dt=\int ue^{u}du=e^u(u-1)=e^{je^{jt}}$je^{jt}-1$$

po dosažení mezí $e^{je^{j\pi}}(je^{j\pi}-1)-e^{je^{0}}(je^{0}-1)=e^{-j}(-j-1)-e^{j}(j-1)$

KONEC EDIT

děkuji za případné upozornění na chyby.

2) rezidua - počítaš limitu pro z k c=pi/2.

V limitě je tedy po vykrácení závorky (2z-pi) zůstane: $\frac{\sin\frac{\pi}{2}}{(2 \frac{\pi}{2}+\pi)}=\frac{1}{2 \pi}.$

Může být?

marekjanu · 06. 05. 2010 20:25

↑ jelena:

Děkuji, spočítal jsem to dle informací znovu a vychází stejně (všechny tři). Takže to je vyřešeno.

jelena · 07. 05. 2010 08:48 — Editoval jelena (07. 05. 2010 08:48)

↑ marekjanu:

není za co, podařilo se mi opsat a kontrolovat v 1) a ve 3) něco jiného. Svůj ↑ příspěvek: jsem editovala a poslala jsem mail.

Omluva za nepozornost.

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2010 16:03

Křivkové integrály

#2 06. 05. 2010 18:42

Re: Křivkové integrály

#3 06. 05. 2010 20:12 — Editoval jelena (07. 05. 2010 21:37)

Re: Křivkové integrály

#4 06. 05. 2010 20:25

Re: Křivkové integrály

#5 07. 05. 2010 08:48 — Editoval jelena (07. 05. 2010 08:48)

Re: Křivkové integrály

Zápatí