Matematické Fórum

SirIndy · 09. 02. 2010 14:50

Mam dokazat, ze $sqrt5 - sqrt2$ neni racionalni cislo. Predem dekuji za pomoc.

FailED · 09. 02. 2010 15:20 — Editoval FailED (09. 02. 2010 16:06)

Na upozornění ↑ Olin: smazáno. Postup byl špatně.

Wotton · 09. 02. 2010 15:24 — Editoval Wotton (09. 02. 2010 15:36)

↑ SirIndy:
Nechť $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ je racionální číslo. Pak je racionální číslo i $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ protože $\sqrt{5}+\sqrt{2}\ =\ \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ a racionální čísla jsou uzavřeny na dělení nenulovým číslem.

Z toho plyne že $2\cdot\sqrt{2}$ je racionální číslo, protože $2\cdot\sqrt{2}\ =\ (\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ a racionální čísla jsou uzavřeny na odčítání.

To ale znamená, že i $\sqrt{2}$ je racionální číslo, a to už předpokládám, že dokážeš dovést ke sporu.

EDIT: opravena uzavřenost na dělení

Olin · 09. 02. 2010 15:29

↑ FailED:
Nerozumím tomu, proč "3 nedělí závorku". Můžeš to prosím trochu rozvést?

SirIndy · 09. 02. 2010 20:17

↑ Wotton:

Bohuzel nedokazu, umim derivovat a integrovat ale dukazy sly vzdy mimo me, vzdy naprosto netusim co s tim mam delat :)

Kondr · 09. 02. 2010 20:25

↑ SirIndy: Dokončení důkazu např. zde:
http://blog.red-bean.com/sussman/?p=112

Pavel · 10. 02. 2010 13:06

↑ SirIndy:

Nechť $\sqrt5 - \sqrt2$ je racionální číslo, tj. $\sqrt5 - \sqrt2=\frac pq\,\in\mathbb{Q}$ . Pak

$(\sqrt5 - \sqrt2)^2=\left(\frac pq\right)^2\in\mathbb{Q}\ \Rightarrow\nl 3-2\sqrt{10}=\left(\frac pq\right)^2\in\mathbb{Q}\ \Rightarrow\nl \sqrt{10}=\frac{3-\left(\frac pq\right)^2}{2}\in\mathbb{Q}$ ,

což je spor.

zdenek1 · 10. 02. 2010 13:10

↑ Pavel:
No to ale není kompletní. Teď ještě musíš dokázat, že $\sqrt{10}\not\in\mathbb Q$

Pavel · 10. 02. 2010 13:40 — Editoval Pavel (10. 02. 2010 13:42)

↑ zdenek1:

Ok, důkaz je obdobný jako ten, že $\sqrt 2$ je iracionální číslo. Není obtížný.

Nechť tedy $\sqrt{10}=\frac ab$ , kde $a$ , $b$ jsou nesoudělná přirozená čísla. Pak

$10=\frac{a^2}{b^2}\qquad\Rightarrow\qquad 10b^2=a^2$

Levá strana je dělitelná 10, tudíž i pravá strana musí být dělitelná 10. Takže $10\mid a^2\quad\Rightarrow\quad 10\mid a\quad\Rightarrow\quad a=10k$ , kde $k\in\mathbb{N}$ . Pak

$10b^2=a^2\qquad\Rightarrow\qquad 10b^2=100k^2\qquad\Rightarrow\qquad b^2=10k^2.$

Protože je pravá strana dělitelná 10, musí být i levá strana dělitelná 10. Takže $10\mid b^2\quad\Rightarrow\quad 10\mid b$ .

To je ale spor s předpokladem, že $\sqrt 10$ lze zapsat jako podíl dvou nesoudělných přirozených čísel $a$ a $b$ , kdežto my jsme ukázali že $a$ a $b$ jsou obě dělitelná 10, a tedy soudělná.