Matematické Fórum

Tqtuan · 08. 05. 2010 11:32 — Editoval Tqtuan (13. 05. 2010 17:19)

Dokaz bez uziti kalkulacky: log pi o zakladu 2 + log pi o zakladu 4 < 5/2

Dekuji predem za pomoc

jelena · 11. 05. 2010 10:36

↑ Tqtuan:

Zdravím,

na 1) již bylo odpovezeno

na 2) - návrh:

$\log_2 \pi+\log_4 \pi<\frac{5}{2}$

dle pravidel počítání s logaritmy

$\log_2 \pi+\frac{\log_2 \pi}{\log_2 4}<\frac{5}{2}$ atd.

jelikoz nesmim pouzivat kalkulacku, tak v jednom z dalsich kroku uprav omezim $\pi$ horni hodnotou $(3+0.15)$

Může být?

Tqtuan · 13. 05. 2010 15:50

↑ jelena:

Ahoj , nakonec sem ten dukaz provedl nasledovne, vlastne tak podobne jako ty>

Nejprve z vlastnosti logaritmu je treba si uvedomit, ze $log_4\pi \rightarrow 4^{log_4\pi}=\pi = 2^{2{log_4\pi}} \rightarrow 2log_4\pi=log_2\pi$ , tedy jednoduchym dosazeni ziskame $3log_2\pi<5 \rightarrow log_2\p<\frac{5}{3}$ . Ted uz zbyva jen prevest $\frac{5}{3}$ na logaritmus o zakladu 2, tedy ziskavame $\frac{5}{3}=log_2{2^{\frac{5}{3}}}$ .

Zde vyuzijeme znalosti, ze logaritmus se zakladem vetsi nez 1 je funkce rostouci a cislo $\pi$ odhanedem shora 3.15 a dostavame

$3.15^3< 2^5 \rightarrow 3.15< \sqrt[3]{2^5} \rightarrow \pi<\sqrt[3]{2^5}$ a tedy z monotonnosti logaritmu se zakladem vetsi jak 1 dostavame, ze i $log_2\p<log_2{2^{\frac{5}{3}}}$

Snad jsem tam neudelal nejakou chybu a zaroven by mel jit o primy dukaz, ktery lze aplikovat bez kalkulacky, kdyztak mi pros Vas ten dukaz zkontrolujte, zda-li je spravny.

jelena · 13. 05. 2010 16:05 — Editoval jelena (13. 05. 2010 18:10)

↑ Tqtuan:

Zdravím,

od tohoto kroku

$3\log_2\pi<5$ uvažovala jsem úpravu na $\log_2\pi^3<\log _2(3+0.15)^3<5$ ostatní úvahy ohledně rostoucí log. funkce jsou podobně. Nejsem však znala formalní stranky zápisů důkazů.

Snad to zkontroluje ještě někdo z odborně zdatnějších kolegů, děkuji.

EDIT: vypadlo mi log v zápisu nerovnice, což by davalo pěkný nesmysl, omluva.

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2010 11:32 — Editoval Tqtuan (13. 05. 2010 17:19)

Matematické důkazy

#2 11. 05. 2010 10:36

Re: Matematické důkazy

#3 13. 05. 2010 15:50

Re: Matematické důkazy

#4 13. 05. 2010 16:05 — Editoval jelena (13. 05. 2010 18:10)

Re: Matematické důkazy

Zápatí