Matematické Fórum

Jana76 · 09. 05. 2010 07:21

prosím o pomoc s vyřešením této rovnice:
log odmocnina z x-5 + log odmocnina z 2x-3 +1 = log 30
Výsledek má být 6

dále se chci zeptat proč tato rovnice nemá řešení:
log odmocnina z 1+x + 3log odmocnina z 1-x = log odmocnina z 1- x na druhou /na druhou jen to x/ + 2

Děkuji

gadgetka · 09. 05. 2010 07:42

$\log \sqrt{x-5}+\log \sqrt{2x-3}+\log10=\log30\nl\frac{1}{2}\log(x-5)+\frac{1}{2}\log(2x-3)+\log10=\log30\nl\frac{1}{2}(\log(x-5)(2x-3))=\log{\frac{30}{10}}\nl\sqrt{(x-5)(2x-3)}=3|^2\nl(x-5)(2x-3)=9\nl2x^2-13x+15-9=0\nl2x^2-13x+6=0\nlx_{1,2}=\frac{13\pm \sqrt{169-48}}{4}=\frac{13\pm 11}{4}\nlx_1=6\nlx_2=\frac{1}{2}$

Podmínky:
$x-5>0 \wedge 2x-3>0\nlx>5\wedge x>\frac{3}{2}\nlx\in \langle 5;+\infty)$

Vzhledem k podmínkám je kořenem rovnice pouze $x_1=6$

gadgetka · 09. 05. 2010 07:56

$\log \sqrt{1+x}+3\log \sqrt{1-x}=\log(1-x^2)\nl\log(1+x)(1-x)^3=\log(1-x^2)\nl(1+x)(1-x)(1-x)^2=1-x^2\nl(1-x^2)(1-x)^2=1-x^2\nl(1-x)^2=1\nl1-2x-x^2=1\nlx^2-2x=0\nlx(x-2)=0\nlx_1=0\nlx_2=2$

Podmínky:
$1+x>0 \wedge 1-x^2>0 \wedge 1-x>0\nlx>\pm1 \wedge x^2-1<0\nlx>\pm1 \wedge x<\pm1$
Průnikem podmínek je prázdná množina, čili žádné x nevyhovuje dané rovnici.

Jana76 · 09. 05. 2010 08:51

↑ gadgetka:
Děkuji moc, konečně jsem pochopila podmínky a tím i řešení.

Jana76 · 09. 05. 2010 08:58

↑ gadgetka:↑ gadgetka:[re]p115190|gadgetka[/r
U té první rovnice jsem díky vám konečně pochopila podmínky a tím i řešení. Děkuji
U té druhé se chci zeptat, jestli se něco změní, když v zadání za rovnáse je log odmocnina 1-xnadruhou +2. Jedná se mi o tu dvojku. Napsala jsem nesrozumitelně zadání. Děkuji

Jenda358

Mně to s tou dvojkou vyšlo takto.
x1=101
x2=-99
X ale může být jen prvkem intervalu (-1;1), takže rovnice stejně nemá řešení.

jelena · 10. 05. 2010 00:37

↑ Jana76:

Zdravím, upravené zadání je tak?

$\log \sqrt{1+x}+3\log \sqrt{1-x}=\log \sqrt{1-x^2}+2$

$\log \sqrt{1+x}+\log \sqrt{1-x}+2\log \sqrt{1-x}=\log \sqrt{1-x^2}+2$

$\log \sqrt{1-x^2}+2\log\sqrt{1-x}=\log \sqrt{1-x^2}+2$

$2\log\sqrt{1-x}=2$

$\log\sqrt{1-x}=1$

$\sqrt{1-x}=10$

$x=-99$ nevyhovuje podminkam.

nemám ovšem stejný výsledek jako kolega Jenda358 , je možné, že jsem něco přehlédla, děkuji za opravu.