Matematické Fórum

Miki1990 · 09. 05. 2010 11:55

Moc prosím .. je to akutní :(

Rumburak

Pro první křivku platí, že x(t) je klesající funkce zobrazující interval $[0,\,\frac{\pi}{2})$ na $(0, \,\frac{1}{2}]$ .
Má-li li druhá křivka s ní být totožná, nezbývá než volit interval $I_2$ tak, aby funkce $x(s) = \text{e}^{\,2s}$ :

1) byla na něm ryze monotonní (což pro funkci tohoto tvaru bude splněno bez ohledu na interval) ,

2) zobrazovala ho rovněž na $(0, \,\frac{1}{2}]$ .

Postavme rovnici $\text{e}^{\,2s}=\frac{\cos\,t}{2}$ , $t\in[0,\,\frac{\pi}{2})$ , a řešme ji pro neznámou $s$ .
Obdržíme $s=\frac{1}{2}\,\ln\,\frac{\cos\,t}{2}$ . Pro $t = 0$ dostáváme $s=\frac{1}{2}\,\ln\,\frac{1}{2}=-\ln\,\sqrt{2}$ , pro $t \to \frac{\pi}{2}-$ pak $s \to -\infty$ .
Takže pokud úloha má řešení, bude nutně $I_2 = (-\infty,\,-\ln\,\sqrt{2}]$ .

K dokončení úlohy je potřeba ověřit, že v rozsahu parametrizačních intervalů $[0,\,\frac{\pi}{2})$ pro prvou a
$(-\infty,\,-\ln\,\sqrt{2}]$ pro druhou křivku platí tvrzení

(T) Leží-li bod A na první a bod B na druhé křivce a platí-li $x_A = x_B$
(tj. oba body se shodují v x-ové souřadnici) , pototm též $y_A = y_B$ .

Tvrzení (T) bude ověřeno, ukážeme-li, že pro $t\in[0,\,\frac{\pi}{2})$ , $s=\frac{1}{2}\,\ln\,\frac{\cos\,t}{2}$ je $\sin^2\,t \,=\, 1\,-\,2\text{e}^{\,4s}$ ,
což není obtížné.

Jak se počítá tečna ke křivce snad je jasné.

Honzc · 10. 05. 2010 10:35

Třeba takto:

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2010 11:55

Křivky

#2 10. 05. 2010 10:19 — Editoval Rumburak (10. 05. 2010 11:05)

Re: Křivky

#3 10. 05. 2010 10:35

Re: Křivky

Zápatí