Matematické Fórum

Fhact0r

1. Ze čtverečkového papíru jsme vystřihli čtverec 14x14 a do každého čtverečku jsme napsali některé z čísel 1, 2, 3, ..., 2010 (nemusí být navzájem různé). Dokažte, že existují dva takové pravoúhelníky s vrcholy ve středech čtverečků a se stranami rovnoběžnými se stranou čtverce, pro které je součet jejich "vrcholových" čísel stejný.

2. V trojúhelníku ABC sestrojíme těžnice AD a CE. Víme, že | AD | = 5, | < DAC | = 22,5°, | < ECA | = 45°. Určete přesně obsah trojúhelníku ABC (tj. jako číselný výraz s odmocninami).

3. Řešte nerovnici.
$|x-3|^{2x^2-7x} \ge 1$
.
.
.

Tu druhou snad mam (ikdyz hodne "blbe"):

$|AT|=\frac 23 \cdot 5 = \frac {10}{3}$
Sinova veta:
$|AC|=\frac {\frac {10}{3} \cdot sin 112.5^\circ}{sin 45^\circ}$

Kosinova veta:
$|TC|=\sqrt {({\frac {10}{3}})^2+{(\frac {\frac {10}{3} \cdot sin 112.5^\circ}{sin 45^\circ})}^2-\frac {\frac {200}{9} \cdot sin 112.5^\circ \cdot cos 22.5^\circ}{sin 45^\circ}$

Nakonec Heronuv vzorec, ten uz sem psat nebudu ... Je to spravne?
.
.
.
Nejake hinty k tem 2 zbyvajicim? Thanx.

Tychi · 09. 05. 2010 19:56

v třetím členu v té kosinově větě je 2ab cos gama, u tebe vidím jen 2b cos gama. Zapomněls na $\frac{10}{3}$

Fhact0r · 09. 05. 2010 20:09

↑ Tychi:
Jo, dik. A ty dve dalsi ulohy? S tou prvou treba neumim hnout vubec.

zdenek1

↑ Fhact0r:
3)
za prvné definiční obor. Základ musí být větší než nula. $x\neq3$
Dále: exponenciely můžou být problematické pro základ = 1.
$|x-3|=1$ dává $x=2$ nebo $x=4$ . Dosazením zjistíme, že tato čísla vyhovují.

Nyní klasicky.
a) základ >1, tj. $x\in(-\infty;2)\cup(4;\infty)$
$2x^2-7x\geq0\ \Rightarrow\ x(2x-7)\geq0$
$x\in(-\infty;0\rangle\cup\langle3,5;\infty)$
Průnik je pak $x\in(-\infty;0\rangle\cup(4;\infty)$

b) 0<základ<1, tj. $x\in(2;4)$
$2x^2-7x\leq0\ \Rightarrow\ x(2x-7)\leq0$
$x\in\langle0;3,5\rangle$
průnik $x\in(2;3,5\rangle$

Všechno cdohronady dává
$x\in(-\infty;0\rangle\cup\langle2;3)\cup(3;3,5\rangle\cup\langle4;\infty)$

Fhact0r · 09. 05. 2010 21:17

K te treti mam neco taky:
$|x-3|^{2x^2-7x} = 1$ pokud $|x-3| = 1$ nebo $2x^2-7x = 0$ , tedy pokud $x \in \{2; 4; 0; 3,5\}$

ted vyzkousim jednotlive intervaly (jedno cislo):
pro $x \in ( -\infty; 0)$ je $|x-3|^{2x^2-7x} > 1$

pro $x \in (0; 2)$ je $|x-3|^{2x^2-7x} < 1$

pro $x \in (2; 3) \cup (3; 3,5)$ je $|x-3|^{2x^2-7x} > 1$

pro $x \in (3,5; 4)$ je $|x-3|^{2x^2-7x} < 1$

pro $x \in (4;\infty)$ je $|x-3|^{2x^2-7x} > 1$

Fhact0r

↑ zdenek1:
Mezicasem sem to vyresil, ale i tak dik.

Fhact0r · 09. 05. 2010 21:24

Jeste zbyva ta prvni ...

Fhact0r · 10. 05. 2010 11:15

Hm, mam jeste jednu.
Určete všechny takové dvojice reálných čísel x, y, že platí:
$\frac {1}{100} \cdot x \cdot y =5$
$x^{log y}=25$

$y=\frac {500}{x}$
$x^{log \frac {500}{x}}=25$
$\frac {500}{x}=log_x 25$

co dal?

zdenek1 · 10. 05. 2010 12:00

↑ Fhact0r:
$xy=500$
$x^{\log y}=25$ obě rovnice zlogaritmovat
$\log(xy)=\log x+\log y=\log500$
$\log y\cdot\log x=\log25$
nyni substituci $\log x =a$ , $\log y=b$

gadgetka

Zkusila bych to naopak:
$x=\frac{500}{y}\nl$\frac{500}{y}$^{\log y}=5^2\nl\frac{500^{\log y}}{y^{\log y}}=5^2\nl\log$\frac{500^{\log y}}{y^{\log y}}$=\log5^2\nl\log500^{\log y}-\log y^{\log y}=2\log5\nl\log y\cdot \log500-\log y\cdot \log y=2\log5\nl\log y\cdot (\log {5\cdot 100})-\log^2y-2\log5=0\nl\log y\cdot (\log5+\log100)-\log^2y-2\log5=0\nl\log y\cdot (\log5+2)-\log^2 y-2\log5=0\nl\log5\cdot \log y+2\log y-\log^2y-2\log5=0\nl\log^2y-\log y\cdot \log5-2\log y+2\log5=0\nl\log^2y-\log y(2+\log5)+2\log5=0$

substituce: $\log y=t$

$t^2-(2+\log5)\cdot t+2\log5=0\nlt_{1,2}=\frac{2+\log5\pm \sqrt{(2+\log5)^2-8\log5}}{2}=\frac{2+\log5\pm \sqrt{4+4\log5+(\log{5})^2-8\log5}}{2}=\frac{2+\log5\pm \sqrt{(\log2)^2-4\log5+4}}{2}=\nl=\frac{2+\log5\pm \sqrt{(\log5-2)^2}}{2}=\frac{2+\log5\pm (\log5-2)}{2}\nlt_1=\frac{2\log5}{2}=\log5\nlt_2=\frac{4}{2}=2$

$\log y=2\nly_1=100\nl x_1=\frac{500}{100}=5$

$\log y=\log5\nly_2=5\nlx_2=\frac{500}{5}=100$