Matematické Fórum

honza33 · 18. 03. 2008 10:23 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:00)

Příklad 1:

řešil jsem takto:
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%20%2B%201%7D%20-%20%5Csqrt%7Bn%20-%201%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Boo%7D%20-%20%5Csqrt%7Boo%7D%7D%20$
Jde vůbec oo odmocnit?

Příklad 2:

řešil jsem takto:
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20(1%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5n%7D)%5E%7B7n%20%2B%208%7D%20%3D%201%5E%7Boo%7D%20%3D%201$
Mám to správně?

Díky

jelena · 18. 03. 2008 10:50

Ten prvni urcite neni mozne, jak navrhujes - lepsi rozsirit zlomek stejnym vyrazem jako v jmenovateli s plusem mezi odmocninami a pak deleni nejvyssi mocninou

Druhy - zkus se podivat na postup, jak se resi limita typu

$\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$ bude potreba pouze vhodna uprava, aby se to dalo pouzit

Kdyz nepujde, tak se ozvi tady :-)

honza33 · 18. 03. 2008 11:54 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:07)

Rozšíření zlomku:
$lim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D%20-%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D%7D%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D%7D%7B(%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D)(%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D%20-%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D)%7D$
Následné úpravy zlomku:
$lim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D%7D%20%7B1%20%2B%20n%20%2B%20(%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D%20*%20-%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D)%20%2B%20(%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D%20*%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D)%20-%20(1%20-%20n)%7D$
Už se v tom trošku motám...
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D%7D%7Bn%5E2%20%2B%20%5Csqrt%7B-1%20%2B%20n%5E2%20%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%5E2%20%7D%7D%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D%7D%7Bn%5E2%7D$
Je to zatím správně?
Díky

jelena · 18. 03. 2008 12:20

jmenovatel podle vzorce (a+b)(a-b) = a^2 -b^2 oprav si to trochu

honza33 · 18. 03. 2008 12:34 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:07)

Předpokládám, že narážíš na poslední řádek. mrkl jsem na to znovu, ale pořád to vychází stejně:
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D%7D%7B1%20%2B%20n%20-%20(1%20-%20n)%7D%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%20%2B%20n%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B1%20-%20n%7D%7D%7Bn%5E2%7D$
Ale je možné, že jsem něco přehlídl, už nad tou matikou dneska sedím docela dlouho...

jelena · 18. 03. 2008 12:44

↑ honza33:

od zadani jsi to, bohuzel, nejak prehazel - je tam prece pod prvni odmocninou (n+1), pod druhou (n-1). Zmena je pouze znamenka mezi odmocninami, v jmenovateli by mela byt pouze 2. OK?

honza33 · 18. 03. 2008 14:56 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:04)

Teď jsem z toho trošku zmatený, takže to napíšu znova od začátku.

Zadání:
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%20%2B%201%7D%20-%20%5Csqrt%7Bn%20-%201%7D%7D$

rozšíření zlomku:
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bn%20%2B%201%7D%20%2B%20%5Csqrt%7Bn%20-%201%7D%7D%7B(%5Csqrt%7Bn%20%2B%201%7D%20-%20%5Csqrt%7Bn%20-%201%7D)%20*%20(%5Csqrt%7Bn%20%2B%201%7D%20%2B%20%5Csqrt%7Bn%20-%201%7D)%7D$

aplikování vzorce (a+b)(a-b) = a^2 - b^2:
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bn%20%2B%201%7D%20%2B%20%5Csqrt%7Bn%20-%201%7D%7D%7B(n%20%2B%201)%20-%20(n%20-%201)%7D$

A už to vydím:
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bn%20%2B%201%7D%20%2B%20%5Csqrt%7Bn%20-%201%7D%7D%7B2%7D$

Z toho jsem odvodil:
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cinfty%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B%5Cinfty%7D%7D%7B2%7D$

A co dál? Jde nekonečno odmocnit?

honza33 · 18. 03. 2008 15:30 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:08)

šlo by to upravit takhle?
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cinfty%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B%5Cinfty%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B2%20*%20%5Csqrt%7B%5Cinfty%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cinfty%7D$

jelena · 18. 03. 2008 18:31 — Editoval jelena (18. 03. 2008 18:32)

A už to vydím:
http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png … %7D%7B2%7D

az sem je to OK, ted provest to, ze kazdy clen podelis n (asi se to uci, jako vytykani n) ve vysledku bude

bude $\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt{1+(1/n)} +\sqrt{1-(1/n)}}{2/n}}= (1+1)/0 = \infty$

OK?

honza33 · 19. 03. 2008 10:54 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:05)

Nějak se mi nezdá to dělení nulou. Nebylo by to lepší takhle?
$%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D(%5Csqrt%7B1%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B1%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D)%20*%20%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%20%3D%20(1%20%2B%201)%20*%20%5Cinfty%20%3D%20%5Cinfty$

jelena · 19. 03. 2008 11:33

↑ honza33:

:-) cim je nasobeni nekonecnem lepsi nez deleni nulou :-) nesmi byt 0/0, oo/oo, 0/oo, oo/0, ale deleni 2/0 podle meho neni problem.

Deleni nulou je snadnejsi pro polopaticky vyklad - mam 2 jablka a nebudu se s nikym delit - mam nekonecny pozitek z techto jablek (v tematech VS je asi nevhodne :-).

Ale docela by me zajimal nazor nasich kolegu matematiku, dekuji

(nejde o vychovny vyklad k jablkam - nejlepsi je se rozdelit - ja vim :-)

robert.marik · 19. 03. 2008 11:43

↑ jelena:
V tomhle případě to je jedno. Ale já radši taky násobím nekonečnem, protože je jasné znaménko výsledku. Dělení nulou může být dělení něčím co je kladné a jde to k nule, nebo něčím co je záporné a jde to k nule, nebo snad dělení něčím, co v každém okolí bodu, k němuž se přibližuji, mění znaménko.

Ale to je spíš u funkcí, tady v tomto případě člověk okamžitě vidí, že jmenovatel je kladný a jde k nule takže žádné dodatečné úvahy se provádět nemusí.

A to s těma jabkama se mi moc líbí! Stejně tak se mi velice líbilo, jak jste jinde popisovala výpočet inverzní funkce protiútokem. Je to prima, když to někdo umí takto podat. A my ostatní to aspoň můžeme okoukat :)

honza33 · 19. 03. 2008 12:05

Výpočet inverzní funkce protiútokem se mi taky moc líbil, bylo to dokonce u mé inerzní matice :-)
Ten příklad s jablkem je bezva, ale u mě neplatí, jelikož jablka nejím (takže žádný požitek), ale zase se rád rozdělím o všecky :-)

Ještě bych rád požádal o pomoc s tím druhým příkladem.
Zadání:

Zvažuju, jak to upravit, abych dostal
$\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$

Díky

robert.marik · 19. 03. 2008 12:49

Snažte se dostat $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{5n}\right)^{5n}=e$

třeba $a^{7n+8}=\left (a^{5n}\right)^\alpha a^8$ , kde $\alpha$ je jedno takové šikovné číslo .....

honza33 · 20. 03. 2008 16:45

Tak to už je nad mé chápání :-(

robert.marik

$a=1+\frac 1{5n},\quad \alpha=\frac 75$

$\lim_{n\to\infty}\left[\left(\left(1+\frac 1{5n}\right)^{5n}\right)^{\frac 75}\left(1+\frac 1{5n}\right)^{8}\right]$

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2008 10:23 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:00)

Výpočet limity posloupnosti

#2 18. 03. 2008 10:50

Re: Výpočet limity posloupnosti

#3 18. 03. 2008 11:54 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:07)

Re: Výpočet limity posloupnosti

#4 18. 03. 2008 12:20

Re: Výpočet limity posloupnosti

#5 18. 03. 2008 12:34 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:07)

Re: Výpočet limity posloupnosti

#6 18. 03. 2008 12:44

Re: Výpočet limity posloupnosti

#7 18. 03. 2008 14:56 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:04)

Re: Výpočet limity posloupnosti

#8 18. 03. 2008 15:30 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:08)

Re: Výpočet limity posloupnosti

#9 18. 03. 2008 18:31 — Editoval jelena (18. 03. 2008 18:32)

Re: Výpočet limity posloupnosti

#10 19. 03. 2008 10:54 — Editoval Kondr (28. 06. 2011 22:05)

Re: Výpočet limity posloupnosti

#11 19. 03. 2008 11:33

Re: Výpočet limity posloupnosti

#12 19. 03. 2008 11:43

Re: Výpočet limity posloupnosti

#13 19. 03. 2008 12:05

Re: Výpočet limity posloupnosti

#14 19. 03. 2008 12:49

Re: Výpočet limity posloupnosti

#15 20. 03. 2008 16:45

Re: Výpočet limity posloupnosti

#16 20. 03. 2008 17:22 — Editoval robert.marik (20. 03. 2008 17:25)

Re: Výpočet limity posloupnosti

Zápatí