Matematické Fórum

Ten první vektorový prostor má jednoprvkovou bázi (1,1,3,1) (složku x1 označíme jako t, pak máme ze třetí rovnice t=x4, ze druhé t=x2, dopočteme x3=3t, vektory v tomto v.p. jsou tedy t-násobky vektoru (1,1,3,1). Nyní si musíme vymyslet 3 vektory tak, aby byly na sebe po dvou kolmé a byly kolmé i na (1,1,3,1), ty budou tvořit bázi doplňku. První dva vymyslíme třeba tak, že umístíme nuly na prostřední resp. krajní místa (tím budou kolmé na sebe) a zbylé složky dopočteme tak, aby byly kolmé na (1,1,3,1). Tak dostaneme vektory (1,0,0,-1) a (0,-3,1,0). Pro poslední vektor musí platit, že je kolmý na všechny tři předchozí, pro jeho složky tedy musí platit tři rovnice pro skalární součiny, jejich řešením je (-5,1,3,-5) a samozřejmě libovolný násobek tohoto vektoru.
Takto umíme ort. doplněk popsat bázovými vektory. Kdybychom od nich chtěli přejít k rovnici, vyjádříme si každý vektor v tomto podprostoru jako jejich lineární kombinaci
(k-5m,m-3l,l+3m,-k-5m)
-10m=x1+x4,
10m=x2+3x3, rovnice ort. doplňku je tedy
x1+x2+3x3+x4=0.
(jestipak tohle neplyne z toho, jaký tvar má ten bázový vektor prostoru L :) )


No a ka druhému příkladu: nejjednoduším takovým podprostorem je prostor vektorů, které mají dvě poslední složky nulové. V přirozené bázi tedy x3=0 a x4=0. Náš vektor do něj zřejmě nepatří.

1)
Dimenze tohoto prostoru je 4, protože matice, které obsahují 3 nuly a jendničku (každá na jiné pozici) jsou lineárně nezávislé a každá další matice 2x2 je jejich lineární kombinací, tvoří tedy 4-prvkovou bázi tohoto VP.

K lineární nezávislosti: ta se určí tak, že se pro vektory (označme je a,b,c) napíše vektorová rovnice
ka+lb+mc=0, pokud má pro k,l,m netriviální řešení (tj. jiné než 0,0,0) jsou lineárně závislé. V našem případě se tato vektorová rovnice skládá ze 4 rovnic skalárních, jejich soustava nemá netriviální řešení, jsou tedy lineárně nezávislé.

Abychom dostali bázi, potřebujeme ještě jeden vektor d, který by na nich byl lineárně nezávislý. Náhodně nějaký tipneme  (prvaděpodobnost neúspěchu je nulová, je to jako tipovat bod v rovině tak aby neležel na nějaké přímce) a ukážeme, že je opravdu lineárně nezávislý (stejně jako minule, akorát do rovnice přibude člen +nd). Osobně jsem si tipnul
0 1
0 0
a vyšlo to. Bází je tedy čtveřice vektorů a,b,c,d je tedy bází.

Ad složky: bázové vektory označme e1 až e4, daný vektor x. Pro složky x1,x2,x3 x4 vektoru x v dané bázi platí
e1x1+e2x2+e3x3+e4x4=x, tato vektorová rovnice se opět skládá ze 4 skalárních. Jejich vyřešením dostaneme ty souřadnice, počítání ti přenechám ;)

2)
Vektorový prostor C^2 a prostor matic 2x2 jsou izomorfní, protože jsou to prostory dimenze 4 nad R. V obou prostorech je každý vektor reprezentován čtveřicí čísel, nejjednodušší izomorfizmus tedy převede a+bi,c+di na
a b
c d

Mužu ještě k tomu příkladu z té jedničky, jak se určuji ty složky u toho vektoru,tak jak je to bečko,to nevim jak na to,nebo je to stejny postup jak u toho ačka

takže to ačko má byt takhle ty
a*(1 0) + b*(1 1) + c*(1 1) + d* (1 1)= (2 3)
a*(0 0) + b*(0 1) + c*(1 0) + d* (1 1)= (4 -1)
a rozepíšu si to :
a+b+c+d = 2
     b+c+d = 3
         c+d = 4
            d = -1
ted mi vyjde d je -1 ,c= 5,b=-1,a=-5,složky vektoru je teda -5 -1
                                                                                        5  -1

a to bečko má byt teda stejně akorat stěmi  jinymi čisly z těch matic:

    4 3  -5 12  7 3  2 3
    2 1   0 0    4 0  4 -1

Obecný prvek našeho VP má tvar xa+yb+zc, tedy má souřadnice
x1=x+2y
x2=2x+y+z
x3=2x+2y-2z
x4=x+3y+z
Odtud
x3-2x1=-2y-2z
x4-x1=y+z
x3-4x1+2x4=0.
Jedná se tedy o třírozměrný podprostor daný rovnicí 4x1+0x2-x3-2x4=0. Ortogonální doplněk k němu je jednorozměrný VP generovaný vektorem (4,0,-1,-2).
Obecně: hledáme-li doplněk k r-rozměrnému podprostoru prostoru dimenze n, najdeme n-r lineárně nezávislých rovnic, které platí pro souřadnice prvků podprostoru. Každá rovnice odpovídá jednomu bázovému vektoru ortogonálního doplňku (koeficienty rovnice=složky bázového vektoru).

Zvolíme vektor... tady moc volit nemůžeme, v tom prostoru leží jen (4,0,-1,-2) a jeho násobky. A kolmost ověříme skalárním součinem, což už jsme udělali (pro c -- stejně jako pro všechny ostatní prvky našeho VP -- musí platit výše uvedená rovnice 4x1+0x2-x3-2x4=0).

Lze postupovat i opačně -- ke každému z daných vektorů najdeme ortogonální doplňek a hledáme průnik ort. doplňků.

Ano, řešit tuto soustavu rovnic znamená najit hledaný doplněk. Její řešení vyjde se dvěma parametry (což plyne i z toho, že je doplněk dvourozměrný).