Matematické Fórum

zimmi · 10. 05. 2010 21:41

Zdravím,
hledám limitu tohoto výrazu lim_(x->0+) (1/x)^(tan(x)) = 1 a nemůžu se jí dobrat. Přes exponent to řeším jako -tgxlnx s použitím L'Hospitalova pravidla (po úpravě), ale vždycky končím někde u nekonečna.

halogan · 10. 05. 2010 21:43

Řešíme tedy limitu

$\lim_{x \to 0+} - \text{tan} x \log x$

A pokud bude existovat, tak na výsledek použijeme jako argument funkce exp. To jsi i sám navrhnul.

Víme:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{tan} x}{x} = 1$

2) Existuje aritmetika limit.

3) Umíme vhodně rozšiřovat.

---

Jak bys to tedy upravil?

zimmi · 10. 05. 2010 21:48

Ehm... asi budu za vola, ale:
1. to víme odkud (případně odkud bychom to měli vědět)?

Co jsem s tím udělal dál, bylo to, že jsem ten výraz, který je (podle mě) roven 0*nekonečno, upravil na lnx/(1/tgx).

halogan · 10. 05. 2010 21:57

↑ zimmi:

No jak teď koukám na tu derivaci, tak se obejdeme i bez té jedničky, já si to chtěl ulehčit (= nechtěl jsem hledat derivaci tangenty).

Tak tedy derivujeme. Kolik vyšla derivace podle L'Hospitala?

zimmi · 10. 05. 2010 22:01 — Editoval zimmi (10. 05. 2010 22:03)

(ln x)' = 1/x

(1/tgx)' = -1/cos^2x

IMHO by to tedy mělo být (1/x)/(-1/cos^2(x))

halogan · 10. 05. 2010 22:05

To bohužel nemohu souhlasit. Počítáš derivaci jako podíl nebo jako složenou funkci? Zkus to schválně tím druhým postupem a uvidíš, že to je jinak.

Pak už bude limita jasná.

zimmi · 10. 05. 2010 22:10

No... počítám zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele, přičemž 1/tgx je podle mě podíl. Nebo je to tg^-1x?

halogan · 10. 05. 2010 22:14

Já teď mluvím jen o derivaci toho jmenovatele, promiň, nevyjádřil jsem se.

(1/tan x)' můžeš počítat nejméně dvěma způsoby:

1) (1/tanx)' = tan^-1 x = (-1) tan^-2 x (tanx)'

2) (1/tanx)' = (0 - (tan x)')/tan^2 x

zimmi · 10. 05. 2010 22:19 — Editoval zimmi (10. 05. 2010 22:20)

A jo, já jsem zapomněl na ten jmenovatel. Tak pak by to mělo být -1/(tg^2 x * cos^2 x)

halogan · 10. 05. 2010 22:28

No, to se upraví, společně se to nějak pokrátí a pak už využijeme jen dvě věci:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

2) Moje oblíbená aritmetika limit :-)

Ale pokud jsi pohodlný (a já věřím, že jsi), tak si to znovu zL'Hospitalíš.

zimmi · 10. 05. 2010 22:39 — Editoval zimmi (10. 05. 2010 22:48)

Zajímalo by mě, jak se to dá udělat bez hospitalizování :-)

Teď mám tedy výraz (1/x)/((-1)/(tg^2x * cos^2 x)). Ten bych si upravil na (tg^2(x) * cos^2 (x))/x. Dostávám zase výraz 0/0 a tady jsi asi myslel, že by se to mělo znovu zhospitalizovat. Do toho se mi ale moc nechce.

Díval jsem do vzorců týkajících se goniometrických funkcí: cos^2 (x) = (1 + cos2x)/2, to mi ale v tomto případě moc nepomůže, ne? Pak by se nabízelo ještě sin^2 x - cos^2 x = 1, ale není mi jasné, jakým způsobem se zbavím x-ka ve jmenovateli. Ubírám se aspoň správným směrem?

Teď se na to dívám, dá se použít i vzorec tg^2 x = sin^2x/cos^2x, nebo jsem si ho právě vymyslel? :-)

Už jsem to zhospitalizoval a ta nula mi vyšla, tudíž limita toho původního výrazu je e^0, což je 1. Ale zajímalo by mě, jak jsi to chtěl vyřešit ty.

halogan · 10. 05. 2010 23:00

zimmi napsal(a):
Teď se na to dívám, dá se použít i vzorec tg^2 x = sin^2x/cos^2x, nebo jsem si ho právě vymyslel? :-)

Přesně tak, ale to bys měl znát ze SŠ :-)

Dojdeš k něčemu takovému (minusko sem vyhodil před limitu, řeším oboustrannou limitu, je to kratší):

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \sin x = 1 \cdot 0$ .

Využívám výše zmíněného:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .
2) Aritmetika limit.
3) Spojitosti sinu v nule (mohu dosadit).

zimmi · 10. 05. 2010 23:11

↑ halogan: Aha, to vypadá hezky :-) Díky moc za vysvětlení.

halogan · 10. 05. 2010 23:13

Pokud není dalších otázek, tak uzavírám téma.

Matematické Fórum

#1 10. 05. 2010 21:41

Limita exp. funkce

#2 10. 05. 2010 21:43

Re: Limita exp. funkce

#3 10. 05. 2010 21:48

Re: Limita exp. funkce

#4 10. 05. 2010 21:57

Re: Limita exp. funkce

#5 10. 05. 2010 22:01 — Editoval zimmi (10. 05. 2010 22:03)

Re: Limita exp. funkce

#6 10. 05. 2010 22:05

Re: Limita exp. funkce

#7 10. 05. 2010 22:10

Re: Limita exp. funkce

#8 10. 05. 2010 22:14

Re: Limita exp. funkce

#9 10. 05. 2010 22:19 — Editoval zimmi (10. 05. 2010 22:20)

Re: Limita exp. funkce

#10 10. 05. 2010 22:28

Re: Limita exp. funkce

#11 10. 05. 2010 22:39 — Editoval zimmi (10. 05. 2010 22:48)

Re: Limita exp. funkce

#12 10. 05. 2010 23:00

Re: Limita exp. funkce

zimmi napsal(a):

#13 10. 05. 2010 23:11

Re: Limita exp. funkce

#14 10. 05. 2010 23:13

Re: Limita exp. funkce

Zápatí